Question

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (8n-7)^2 -(2n-1)^2 делится на 6. Очень нужно

Answer 1

$(8n - 7)^{2} - (2n - 1)^{2} = (64n^{2} - 112n + 49) - (4n^{2} - 4n + 1) = (64n^{2} - 112n + 49 - 4n^{2} + 4n - 1) = 60n^{2} + 48 - 108n$
=> поскольку каждое слагаемое делится нацело на 6, то все выражение при любом значении n будет нацело делится на 6.

Answer 2

Для доказательства, что выражение (8n-7)^2 - (2n-1)^2 делится на 6 при любом натуральном n, мы можем использовать метод доказательства по индукции.

Базовый шаг:

Для n = 1: - Выражение становится: (8(1)-7)^2 - (2(1)-1)^2 = (8-7)^2 - (2-1)^2 = 1^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0. - 0 делится на 6 без остатка.

Предположение индукции:

Предположим, что выражение (8k-7)^2 - (2k-1)^2 делится на 6 для некоторого натурального k.

Индукционный шаг:

Докажем, что выражение (8(k+1)-7)^2 - (2(k+1)-1)^2 также делится на 6.

- Раскроем скобки в выражении: (8(k+1)-7)^2 - (2(k+1)-1)^2 = (8k+8-7)^2 - (2k+2-1)^2 = (8k+1)^2 - (2k+1)^2.

- Применим разность квадратов: (8k+1)^2 - (2k+1)^2 = (8k+1+2k+1)(8k+1-2k-1) = (10k+2)(6k) = 60k^2 + 12k.

- Разделим полученное выражение на 6: 60k^2 + 12k = 6(10k^2 + 2k).

- Мы видим, что полученное выражение делится на 6 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что выражение (8n-7)^2 - (2n-1)^2 делится на 6 при любом натуральном n.