Question

помогите вычислить тангенс угла наклона между кривыми в точке их пересечения. y=x^2-2 и y=-x^2+6

Answer 1

$y_1 = x^2 -2, \ y_2 = -x^2+6$

 

Найдём точки пересечения:

 

 

$x^2-2 = -x^2+6\\ 2x^2 = 8\\ x^2 = 4\\ x = -2, x = 2$

 

 

Так как графики функций симметричны относительно оси Оу, то тангенс угла наклона между кривыми в первой точке, совпадет с тангенсом угла наклона между кривыми во второй и имеет смысл рассматривать только одну точку. Пусть это будет точка с абсциссой x = 2.

 

 

$y_1' = 2x, \ y_1(2) = 2, \ y_1'(2) = 4\\\\ y_2' = -2x, \ y_2(2) = 2, \ y_2'(2) = -4$

 

 

Найдём касательные по формуле $y = f'(x)(x-x_0) + f(x_0)$

 

 

$y_1 = 4(x-2) + 2 = 4x - 6\\\\ y_2 = -4(x-2) + 2 = -4x + 10$

 

 

Тангенс угла между касательными:

 

 

$tg(\alpha)= |\frac{4-(-4)}{1+(-4)*4}}| = |-\frac{8}{15}| = \frac{8}{15}$

 

 

 

 

Answer 2

Чтобы вычислить тангенс угла наклона между двумя кривыми в точке их пересечения, мы можем воспользоваться производными. Угол наклона кривой в определенной точке определяется производной функции в этой точке.

Дано две кривые:

1. \(y = x^2 - 2\) 2. \(y = -x^2 + 6\)

Первым шагом найдем точку пересечения этих кривых. Пересечение происходит, когда \(y\) из первой кривой равно \(y\) из второй:

\[ x^2 - 2 = -x^2 + 6 \]

Сложим \(x^2\) с обеих сторон:

\[ 2x^2 = 8 \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ x^2 = 4 \]

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[ x = \pm 2 \]

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: \((2, 2)\) и \((-2, 2)\).

Теперь найдем производные обеих функций:

1. Для \(y = x^2 - 2\): \[ \frac{dy}{dx} = 2x \]

2. Для \(y = -x^2 + 6\): \[ \frac{dy}{dx} = -2x \]

Теперь подставим найденные точки в производные, чтобы получить угловые коэффициенты касательных в этих точках:

1. В точке \((2, 2)\): \[ \text{Угловой коэффициент касательной для } y = x^2 - 2 \text{ в точке } (2, 2): \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=2} = 2 \cdot 2 = 4 \] \[ \text{Угловой коэффициент касательной для } y = -x^2 + 6 \text{ в точке } (2, 2): \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=2} = -2 \cdot 2 = -4 \]

2. В точке \((-2, 2)\): \[ \text{Угловой коэффициент касательной для } y = x^2 - 2 \text{ в точке } (-2, 2): \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=-2} = 2 \cdot (-2) = -4 \] \[ \text{Угловой коэффициент касательной для } y = -x^2 + 6 \text{ в точке } (-2, 2): \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=-2} = -2 \cdot (-2) = 4 \]

Теперь используем эти угловые коэффициенты для вычисления тангенса угла наклона:

1. Для точки \((2, 2)\): \[ \tan(\theta) = \frac{\text{Угловой коэффициент } y = x^2 - 2}{\text{Угловой коэффициент } y = -x^2 + 6} = \frac{4}{-4} = -1 \]

2. Для точки \((-2, 2)\): \[ \tan(\theta) = \frac{\text{Угловой коэффициент } y = x^2 - 2}{\text{Угловой коэффициент } y = -x^2 + 6} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Таким образом, тангенс угла наклона между кривыми в точке их пересечения равен \(-1\).