Question

Найти площадь фигуры,ограниченную y=x^3,y=x

Answer 1

X^3=x   x(x^2 -1)=0   x1= -1 x2=1   x3=0

$\int\ {x} \, dx - \int\ {x^3} \, dx =(1/2)x^2 -(1/4)x^4$

Фигура состоит из двух одинаковых частей, её площадь равна удвоенной площади одной части. Пределы интегрирования от -1 до 0 по формуле Ньютона-Лейбница

2*(1/2 - 1/4)=2* 1/4=1/2 = 0,5

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^3\) и \(y = x\), нужно найти точки их пересечения и определить интервал интегрирования. Пересечение этих двух функций можно найти, приравняв их:

\[ x^3 = x \]

Решение этого уравнения дает точки пересечения. Очевидно, что \(x = 0\) и \(x = 1\) - две такие точки.

Теперь мы интегрируем разность \(y = x^3 - x\) от \(x = 0\) до \(x = 1\) для нахождения площади:

\[ S = \int_{0}^{1} (x^3 - x) \, dx \]

Интегрируем каждый член:

\[ S = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 \Big|_{0}^{1} \]

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\[ S = \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{2}(1)^2 - \left[ \frac{1}{4}(0)^4 - \frac{1}{2}(0)^2 \right] \]

\[ S = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \]

Отрицательный знак может показаться странным, но это происходит из-за того, что кривая \(y = x^3\) находится ниже \(y = x\) в области между \(x = 0\) и \(x = 1\). Таким образом, площадь этой области отрицательна.

Поэтому площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(y = x^3\) и \(y = x\), равна \( \frac{1}{4} \) с отрицательным знаком. Мы часто используем модуль для получения положительного значения площади, и в данном случае \(|\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}\).