Question

Выделить действительную и мнимую части у следующей функции z=(x-yi)/(x+yi)

Answer 1

Разделим и умножим на сопряженное - $(x-iy)$, получаем:
$z(x,y)= \frac{x-iy}{x+iy} \cdot \frac{x-iy}{x-iy} = \frac{x^2-y^2-2ixy}{x^2+y^2}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{-2xy}{x^2+y^2}\\\\ Re(z)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},\text{ }Im(z)=-\frac{2xy}{x^2+y^2}$

Answer 2

Конечно, давай разберём эту функцию на действительную и мнимую части.

У нас есть функция: \(z = \frac{x - yi}{x + yi}\).

Чтобы найти действительную и мнимую части, давай выполним деление комплексных чисел.

Для удобства, давай представим \(x\) и \(y\) в виде комплексного числа: \(x = x + 0i\) и \(y = 0 + yi\).

Теперь подставим их в нашу функцию:

\[z = \frac{x - yi}{x + yi} = \frac{x + 0i - yi}{x + 0i + yi}\]

Чтобы упростить эту дробь, давай избавимся от дроби с помощью правила умножения на комплексно-сопряжённое число.

Комплексно-сопряжённое число для \(x + yi\) это \(x - yi\), так как комплексно-сопряжённое число для комплексного числа \(a + bi\) это \(a - bi\).

Умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряжённое число знаменателя:

\[z = \frac{(x + 0i - yi)(x - yi)}{(x + 0i + yi)(x - yi)}\]

Раскроем скобки:

\[z = \frac{x^2 - xyi - xyi + y^2i^2}{x^2 - xyi + xyi - y^2i^2}\]

Теперь учтём, что \(i^2 = -1\):

\[z = \frac{x^2 - y^2i^2}{x^2 + y^2i^2}\]

Подставим \(i^2 = -1\):

\[z = \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} - \frac{y^2i^2}{x^2 + y^2}\]

И, наконец, упростим:

\[z = 1 - \frac{y^2(-1)}{x^2 + y^2}\]

Таким образом, действительная часть этой функции равна \(1\), а мнимая часть равна \(\frac{-y^2}{x^2 + y^2}\).