Question

Помогите решить логарифмическое уравнение 5log16x-3log4x+log2x=-3

Answer 1

Решение данного уравнения

Answer 2

Конечно, давайте решим логарифмическое уравнение шаг за шагом. Уравнение, которое вы предложили, выглядит следующим образом:

\[ 5 \cdot \log_{16}x - 3 \cdot \log_{4}x + \log_{2}x = -3 \]

Для удобства решения, давайте преобразим логарифмы с различными основаниями в логарифмы с одним основанием. Используем формулы замены основания:

1. \( \log_{16}x = \frac{\log_{2}x}{\log_{2}16} \) 2. \( \log_{4}x = \frac{\log_{2}x}{\log_{2}4} \)

Подставим эти замены в исходное уравнение:

\[ 5 \cdot \left(\frac{\log_{2}x}{\log_{2}16}\right) - 3 \cdot \left(\frac{\log_{2}x}{\log_{2}4}\right) + \log_{2}x = -3 \]

Упростим выражения под логарифмами:

\[ \frac{5}{4} \cdot \log_{2}x - \frac{3}{2} \cdot \log_{2}x + \log_{2}x = -3 \]

Объединим подобные члены:

\[ \frac{5}{4} \cdot \log_{2}x - \frac{3}{2} \cdot \log_{2}x + \log_{2}x = \frac{5}{4} \cdot \log_{2}x - \frac{1}{2} \cdot \log_{2}x = -3 \]

Теперь у нас есть один логарифм:

\[ \frac{3}{4} \cdot \log_{2}x = -3 \]

Переносим множитель \(\frac{4}{3}\) на другую сторону:

\[ \log_{2}x = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = -1 \]

Теперь преобразуем уравнение в экспоненциальную форму:

\[ 2^{-1} = x \]

\[ x = \frac{1}{2} \]

Таким образом, решение логарифмического уравнения \(5 \cdot \log_{16}x - 3 \cdot \log_{4}x + \log_{2}x = -3\) равно \(x = \frac{1}{2}\).