Question

Решить уравнение: cosx+cos2x+cos6x+cos7x=0

Answer 1

(cos7x+cosx)+(cos6x+cos2x)=2cos4x*cos3x+2cos4x*cos2x=2cos4x(cos3x+cos2x)=2cos4x*2cos(5x/2)*cos(x/2)=4*cos4x*cos(5x/2)*cos(x/2)=f(x);

 

f(x)=0;

cos4x=0;

4x=π/2+πn. n∈Z.

x=π/8+πn/4. n∈Z.

 

cos(5x/2)=0;

5x=π+2πm. m∈Z.

x=π/5+2πm/5. m∈Z.

 

cos(x/2)=0;

x=π+2πk. k∈Z.

Answer 2

Давайте решим уравнение cos(x) + cos(2x) + cos(6x) + cos(7x) = 0.

Для начала, давайте приведем уравнение к более простому виду, используя тригонометрические тождества. Мы можем использовать следующие формулы:

cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2) cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B)/2) * sin((A - B)/2)

Применим эти формулы к уравнению и упростим его:

cos(x) + cos(2x) + cos(6x) + cos(7x) = 0 2 * cos(4.5x) * cos(2.5x) - 2 * cos(4.5x) * sin(2.5x) = 0 2 * cos(4.5x) * (cos(2.5x) - sin(2.5x)) = 0

Теперь у нас есть два случая, когда уравнение равно нулю:

1. cos(4.5x) = 0 2. cos(2.5x) - sin(2.5x) = 0

Первый случай: cos(4.5x) = 0

Чтобы решить это уравнение, мы должны найти значения x, для которых cos(4.5x) равен нулю. Зная, что cos(π/2) = 0, мы можем записать:

4.5x = π/2 + kπ, где k - целое число x = (π/2 + kπ) / 4.5

Таким образом, у нас есть бесконечное множество решений для этого случая.

Второй случай: cos(2.5x) - sin(2.5x) = 0

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать тригонометрическое тождество cos(x - π/4) = cos(x) - sin(x). Применим его:

cos(2.5x) - sin(2.5x) = cos(2.5x - π/4)

Теперь мы можем записать:

2.5x - π/4 = 2kπ, где k - целое число x = (2kπ + π/4) / 2.5

Таким образом, у нас также есть бесконечное множество решений для этого случая.

Итак, решение уравнения cos(x) + cos(2x) + cos(6x) + cos(7x) = 0 состоит из бесконечного множества значений x, которые можно найти из двух случаев, описанных выше.