Question

Найдите сумму цифр всех трёхзначных чисел, в записи которых цифры не повторяются, обладающих следующим свойством: среднее арифметическое всех чисел, получающихся из исходного числа различными перестановками его цифр, равно исходному числу. В строку ответа занесите значение суммы

Answer 1

Если $100a+10b+c$  это наше трехзначное число то , по условию 
перестановок всего будет (без повтора)  $3!=6$ . Среднее арифметическое всех чисел равна 
$\frac{100a+10b+c+100a+10c+b+100b+10a+c+100b+10c+a+100c+10a+b+100c+10b+a}{6}$$=37(a+b+c)$  - оно должно  равняться одному из чисел включая входящию . Ясно что $a<10$  осталось проверить варианты , подходят 
$962,592,481$ сумма равна 
$1991$

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

Пусть исходное трехзначное число записано в виде ABC, где A, B и C - цифры числа.

Из условия задачи следует, что среднее арифметическое всех перестановок этого числа также равно исходному числу. Рассмотрим все возможные перестановки цифр A, B и C.

1. ABC 2. ACB 3. BAC 4. BCA 5. CAB 6. CBA

Среднее арифметическое этих перестановок равно:

\[ \frac{ABC + ACB + BAC + BCA + CAB + CBA}{6} \]

Так как это среднее арифметическое должно быть равно исходному числу ABC, то:

\[ \frac{ABC + ACB + BAC + BCA + CAB + CBA}{6} = ABC \]

Упростим уравнение:

\[ ABC + ACB + BAC + BCA + CAB + CBA = 6 \times ABC \]

Теперь выразим ABC в виде 100A + 10B + C:

\[ 100A + 10B + C + 100A + 10C + B + 10B + A + C + 10B + A + C + 100C + 10A + B = 6 \times (100A + 10B + C) \]

Упростим уравнение:

\[ 222A + 222B + 222C = 6 \times (100A + 10B + C) \]

\[ 37A + 37B + 37C = 100A + 10B + C \]

\[ 36A + 36B + 36C = 99A + 9B \]

\[ 36A + 36B + 36C = 9(11A + B) \]

\[ 4A + 4B + 4C = 11A + B \]

\[ 3A = 3B + 3C \]

\[ A = B + C \]

Таким образом, получаем, что A (единицы) равно сумме B (десятки) и C (сотни).

Теперь рассмотрим все возможные комбинации для A, B и C: 1+2+3, 2+3+4, ..., 7+8+9. В каждой из этих комбинаций у нас есть 3 различные цифры, и среднее арифметическое равно исходному числу.

Сумма всех трехзначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи, равна сумме цифр всех возможных комбинаций для A, B и C, умноженной на количество перестановок (факториал 3):

\[ (1+2+3+...+9) \times 3! = 45 \times 6 = 270 \]

Таким образом, ответ на задачу - 270.