Question

Найдите множество значений ф-и y=cos^2x +2cos^2(4x)+sin^2x (косинус квадрат х + 2 косинус квадрат 4х + синус квадрат х)

Answer 1

 y=cos^2x+2cos^2(4x)+sin^2x
 -1≤cosx≤1                -1≤cos(4x)≤1               -1≤sinx≤1
 0≤cos^2x≤1               0≤cos^2(4x)≤1              0≤sin^2x≤1     
                                 0≤2cos^2(4x)≤2 
0≤cos^2x+2cos^2(4x)+sin^2x≤1+2+1
0≤cos^2x+2cos^2(4x)+sin^2x≤4
ответ E(y)=[0,4]

Answer 2

Для начала, давайте упростим выражение внутри скобок. Заметим, что у нас есть сумма двух косинусов в квадрате и синуса в квадрате. Используя тригонометрическую формулу, мы можем записать это выражение в виде:

cos^2(x) + 2cos^2(4x) + sin^2(x) = (cos^2(x) + sin^2(x)) + 2cos^2(4x)

Так как cos^2(x) + sin^2(x) равно 1 (это является тригонометрической тождеством), то выражение упрощается до:

1 + 2cos^2(4x)

Теперь, давайте рассмотрим значение функции y = cos^2(x) + 2cos^2(4x) + sin^2(x). Мы знаем, что cos^2(x) и sin^2(x) находятся в диапазоне от 0 до 1. Также у нас есть коэффициент 2 перед cos^2(4x), который может увеличивать значение этого слагаемого.

Значение функции при различных значениях x

Давайте рассмотрим несколько значений x, чтобы вычислить соответствующие значения функции y.

1. При x = 0: Значение cos^2(0) равно 1, так как cos(0) равен 1. Значение cos^2(4*0) также равно 1. Значение sin^2(0) равно 0, так как sin(0) равен 0. Таким образом, y = 1 + 2*1 + 0 = 3.

2. При x = π/4: Значение cos^2(π/4) равно 0.5, так как cos(π/4) равен sqrt(2)/2, и его квадрат равен 1/2. Значение cos^2(4*π/4) также равно 0.5. Значение sin^2(π/4) также равно 0.5, так как sin(π/4) равен sqrt(2)/2, и его квадрат также равен 1/2. Таким образом, y = 0.5 + 2*0.5 + 0.5 = 2.5.

3. При x = π/2: Значение cos^2(π/2) равно 0, так как cos(π/2) равен 0. Значение cos^2(4*π/2) также равно 0. Значение sin^2(π/2) равно 1, так как sin(π/2) равен 1. Таким образом, y = 0 + 2*0 + 1 = 1.

Мы можем продолжать вычислять значения функции для различных значений x, но важно отметить, что эта функция будет периодической, так как она содержит тригонометрические функции. Период функции будет зависеть от периодов функций cos(x) и sin(x).

График функции

Давайте построим график функции y = cos^2(x) + 2cos^2(4x) + sin^2(x), чтобы увидеть ее поведение.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
y = np.cos(x)2 + 2*np.cos(4*x)2 + np.sin(x)**2

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = cos^2(x) + 2cos^2(4x) + sin^2(x)')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике мы увидим периодическую функцию, с пиками и минимумами. Пики будут происходить тогда, когда cos^2(4x) достигает своего максимального значения (равного 1), а sin^2(x) достигает своего минимального значения (равного 0). Минимумы будут происходить тогда, когда cos^2(4x) достигает своего минимального значения (равного 0), а sin^2(x) достигает своего максимального значения (равного 1).

Надеюсь, эта информация полезна! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.