Question

Представьте данный многочлен в виде произведения двух одинаковых многочленов: (3x+y)^2+(3xy-1)^2-(3x-y)^2

Answer 1

 (3x +y)^2 - (3x - y)^ + (3xy - 1 )^2 =
=( 3x+y+3x-y)(3x+y - 3x+y)+ (3xy - 1 )^2 =
= 6x*2y+ 9x^y^2 - 6 xy +1= 12xy + 9 x^2y^2 - 6 xy + 1 =
= 9x^2 y^2 + 6 xy +1 =(3xy + 1)^2

Answer 2

Для представления данного многочлена в виде произведения двух одинаковых многочленов, мы можем использовать формулу разности квадратов.

Распишем каждый из многочленов в данном выражении:

(3x + y)^2 = (3x + y)(3x + y) = 9x^2 + 3xy + 3xy + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2

(3xy - 1)^2 = (3xy - 1)(3xy - 1) = 9x^2y^2 - 3xy - 3xy + 1 = 9x^2y^2 - 6xy + 1

(3x - y)^2 = (3x - y)(3x - y) = 9x^2 - 3xy - 3xy + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2

Теперь мы можем представить исходный многочлен в виде разности квадратов:

(3x + y)^2 + (3xy - 1)^2 - (3x - y)^2 = (9x^2 + 6xy + y^2) + (9x^2y^2 - 6xy + 1) - (9x^2 - 6xy + y^2)

Заметим, что внутри скобок у нас есть одинаковые слагаемые 6xy и -6xy, они будут сокращаться:

= 9x^2 + y^2 + 9x^2y^2 + 1 - 9x^2 + y^2

Теперь объединим похожие слагаемые:

= 9x^2 - 9x^2 + y^2 + y^2 + 9x^2y^2 + 1

= 2y^2 + 9x^2y^2 + 1

Таким образом, данный многочлен можно представить в виде произведения двух одинаковых многочленов:

(3x + y)^2 + (3xy - 1)^2 - (3x - y)^2 = (2y^2 + 9x^2y^2 + 1) = (y + 3xy - 1)(y + 3xy - 1)