Question

Помогите решить показательные уравнения 4^x+4^x-1=5

Answer 1

$4^{x}+4^{x-1}=5\\\\4^{x}+\frac{4^{x}}{4}=5\\\\\frac{5}{4}\cdot 4^{x}=5\\\\4^{x}=4\\\\x=1$

Answer 2

Для решения показательного уравнения 4^x + 4^(x-1) = 5, мы можем воспользоваться свойствами показательных функций и алгебраическими методами.

Преобразование уравнения

Для начала, давайте заменим 4^x на y, чтобы упростить уравнение. Тогда у нас получится:

y + 4^(x-1) = 5

Приведение к общему основанию

Далее, заметим, что 4^(x-1) можно записать как (2^2)^(x-1), что равно 2^(2x-2). Теперь у нас получается:

y + 2^(2x-2) = 5

Приведение к одной показательной функции

Мы можем заметить, что 2^(2x-2) также может быть записано в виде (2^2)^(x-1), что равно 4^(x-1). Теперь у нас получается:

y + 4^(x-1) = 5

Подстановка обратно

Теперь вернемся к нашей исходной замене, где y = 4^x:

4^x + 4^(x-1) = 5

Теперь мы имеем уравнение в одной переменной, которое можно решить.

Решение уравнения

Для решения этого показательного уравнения, мы можем использовать алгебраические методы. В данном случае, мы можем преобразовать уравнение, чтобы получить одну показательную функцию с общим основанием.

4^x + 4^(x-1) = 5

Перепишем 4^(x-1) в виде (2^2)^(x-1) = 2^(2(x-1)) = 2^(2x-2):

4^x + 2^(2x-2) = 5

Теперь объединим две показательные функции с одним основанием:

4^x + 2^(2x-2) = 5

Поскольку 4 можно записать как 2^2, мы можем преобразовать уравнение следующим образом:

(2^2)^x + 2^(2x-2) = 5

2^(2x) + 2^(2x-2) = 5

Теперь мы имеем две показательные функции с одним основанием. Мы можем применить свойство суммы показательных функций с одним основанием:

2^(2x) * 2^(-2) + 2^(2x-2) = 5

2^(2x-2) + 2^(2x-2) = 5

2 * 2^(2x-2) = 5

2^(2x-1) = 5

Решение

Теперь мы имеем показательное уравнение 2^(2x-1) = 5. Чтобы решить это уравнение, мы можем применить логарифмы.

Возьмем логарифм от обеих сторон уравнения:

log(2^(2x-1)) = log(5)

(2x-1) * log(2) = log(5)

2x-1 = log(5) / log(2)

2x = (log(5) / log(2)) + 1

x = ((log(5) / log(2)) + 1) / 2

Вычисляя это выражение, мы получим приближенное значение для x.

Ответ: x ≈ 1.20906