Question

Докажите это Признак делимости на 7. Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Answer 1

574÷7 без остатка: => 57-(4×2)=49; 49÷7 без остатка.
575÷7 с остатком: => 57-(5×2)=47; 47÷7 с остатком.

Answer 2

Для доказательства признака делимости на 7, рассмотрим произвольное число, записанное в десятичной системе счисления.

Пусть дано число N = a_n * 10^n + a_{n-1} * 10^{n-1} + ... + a_1 * 10 + a_0, где a_i - цифры числа, n - количество цифр в числе.

Разобьем число N на две части: N_1 = a_n * 10^{n-1} + a_{n-1} * 10^{n-2} + ... + a_1 и N_2 = a_0.

Тогда число N можно записать в виде N = N_1 * 10 + N_2.

Согласно признаку делимости на 7, число N будет делиться на 7 тогда и только тогда, когда число N_1 - 2N_2 будет делиться на 7.

Докажем это утверждение.

Предположим, что число N делится на 7, т.е. N = 7k, где k - целое число.

Тогда N_1 * 10 + N_2 = 7k.

Выразим N_1 через N_2: N_1 = (7k - N_2) / 10.

Домножим обе части на 2: 2N_1 = (14k - 2N_2) / 10.

Заметим, что (14k - 2N_2) делится на 10, так как 14k и 2N_2 делятся на 2 и на 5.

Таким образом, 2N_1 делится на 7.

Обратно, предположим, что 2N_1 делится на 7, т.е. 2N_1 = 7m, где m - целое число.

Тогда (14k - 2N_2) / 10 = 7m.

Умножим обе части на 10: 14k - 2N_2 = 70m.

Заметим, что 14k и 70m делятся на 2 и на 5, поэтому их разность 2N_2 также будет делиться на 2 и на 5.

Следовательно, 2N_2 делится на 7.

Таким образом, мы доказали, что число N делится на 7 тогда и только тогда, когда 2N_1 - N_2 делится на 7.

Это и есть признак делимости на 7.