Question

Построить график функций y=x^2-2x. Укажите промежутки возрастания и убывание функции.при каких значения x функции принимает значение,больше 0

Answer 1

Y=x²-2x

производная
y'=2x-2
y'=0
2x-2=0
x=1
y=-1

(1; -1) - точка экстремума   (точка минимума)

x=0   y=0<-1
на интервале х∈(-∞; 1]  функция убывает

x=2  y=0>-1
на итервале х∈[1; +∞) функция возрастает

при х∈(-∞; 0)∪(2; +∞) значение функции больше нуля

Answer 2

Давайте начнем с построения графика функции \(y = x^2 - 2x\). Для этого давайте сначала найдем вершину параболы и определим ее направление.

Функция имеет вид \(y = ax^2 + bx + c\), где в данном случае \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = 0\). Вершина параболы \(y = ax^2 + bx + c\) имеет координаты \((h, k)\), где \(h = -\frac{b}{2a}\) и \(k\) - это значение функции в точке вершины.

Для нашей функции: \[h = -\frac{(-2)}{2(1)} = 1\] \[k = (1)^2 - 2(1) = -1\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((1, -1)\).

Теперь мы можем построить график. Добавим еще несколько точек, чтобы получился более наглядный график. Например, возьмем значения \(x = -1, 0, 2\) и найдем соответствующие значения \(y\):

\[x = -1: \quad y = (-1)^2 - 2(-1) = 3\] \[x = 0: \quad y = (0)^2 - 2(0) = 0\] \[x = 2: \quad y = (2)^2 - 2(2) = -2\]

Теперь мы можем построить график:


На графике видно, что парабола открывается вверх, и ее вершина находится в точке \((1, -1)\).

Теперь рассмотрим промежутки возрастания и убывания функции. Функция возрастает на тех участках, где производная положительна, и убывает на тех участках, где производная отрицательна.

Производная функции \(y = x^2 - 2x\) равна: \[y' = 2x - 2\]

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, приравняем производную нулю и найдем ее значения:

\[2x - 2 = 0\] \[2x = 2\] \[x = 1\]

Таким образом, производная равна нулю при \(x = 1\). Теперь возьмем тестовые точки, например, \(x = 0\) и \(x = 2\), и определим знак производной в этих точках.

При \(x = 0\): \[y' = 2(0) - 2 = -2\]

При \(x = 2\): \[y' = 2(2) - 2 = 2\]

Таким образом, на интервале \((-\infty, 1)\) функция убывает, на интервале \((1, +\infty)\) функция возрастает.

Наконец, найдем значения \(x\), при которых функция принимает значения больше 0. Это происходит на тех участках, где \(y > 0\). Из графика видно, что это происходит на интервалах \((- \infty, 0)\) и \((2, + \infty)\). Таким образом, функция принимает значения больше 0 при \(x < 0\) и \(x > 2\).