Question

Пусть x - действительное число. Докажите, что 2^(sinx)+2^(cosx) ≥

Answer 1

Используя неравенство Коши, получим
$2^{\sin x}+2^{\cos x} \geq 2 \sqrt{2^{\sin x}\cdot 2^{\cos x}} =2^{1+ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x+ \frac{\pi}{4}) } \geq 2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$
Знак равенства достигается когда $1+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x+ \frac{\pi}{4}) =1-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(x+ \frac{\pi}{4} )=-1\\ \\ x+\frac{\pi}{4} =-\frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z\\ \\ x=-\frac{3\pi}{4} +2 \pi k,k \in Z$

То есть, достигается при $x=-\frac{3\pi}{4} +2 \pi k,k \in Z$

Answer 2

Доказательство неравенства 2^(sinx) + 2^(cosx) ≥ 2

Для начала, давайте заметим, что неравенство выполняется для всех действительных чисел x. Для доказательства, давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: x ∈ [0, π/2]

В этом случае sinx и cosx положительны. Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, мы можем записать:

(2^(sinx) + 2^(cosx))/2 ≥ √(2^(sinx) * 2^(cosx))

Упрощая это выражение, получим:

2^(sinx + cosx)/2 ≥ 2^((sinx + cosx)/2)

Теперь заметим, что sinx + cosx находится в диапазоне [0, 2π], поэтому (sinx + cosx)/2 находится в диапазоне [0, π/2]. Таким образом, мы можем записать:

2^((sinx + cosx)/2) ≥ 2

Получаем:

(2^(sinx) + 2^(cosx))/2 ≥ 2

Умножая обе части на 2, получаем исходное неравенство:

2^(sinx) + 2^(cosx) ≥ 2

Случай 2: x ∈ (π/2, 2π]

В этом случае sinx отрицательно, а cosx положительно. Мы можем записать:

2^(sinx) + 2^(cosx) ≥ 0 + 2^(cosx) ≥ 2^0 = 2

Таким образом, неравенство выполняется и в этом случае.

Таким образом, мы доказали неравенство 2^(sinx) + 2^(cosx) ≥ 2 для всех действительных чисел x.