Question

ABC — правильный треугольник, а О —точка пересечения высот. Докажите, что ОА + ОВ+ОС =0

Answer 1

В правильном треугольник все стороны равны 

Answer 2

Для начала, давайте разберемся, что такое высоты треугольника. Высоты треугольника - это отрезки, проведенные из вершин треугольника к противоположным сторонам, перпендикулярные этим сторонам.

Так как треугольник ABC является правильным, его высоты будут пересекаться в одной точке, которую мы обозначим как O.

Теперь давайте рассмотрим треугольники ОАО, ОВО и ОСО. В этих треугольниках две стороны равны нулю - это ОА, ОВ и ОС, так как точка O является точкой пересечения высот треугольника ABC.

Таким образом, по свойству равнобедренного треугольника, у которого две стороны равны, их высота, проведенная из вершины угла между этими сторонами, будет являться медианой и биссектрисой этого треугольника.

Так как ОА и ОВ принадлежат медианам треугольников ОАО и ОВО соответственно, то их длины будут равны, то есть ОА = ОВ.

Аналогично, так как ОА и ОС принадлежат медианам треугольников ОАО и ОСО соответственно, то их длины будут равны, то есть ОА = ОС.

Таким образом, мы получаем, что ОА = ОВ = ОС.

Исходя из этого, мы можем заключить, что сумма длин отрезков ОА, ОВ и ОС будет равна:

ОА + ОВ + ОС = ОА + ОА + ОА = 3ОА = 3ОВ = 3ОС = 0

Таким образом, мы доказали, что ОА + ОВ + ОС = 0 для правильного треугольника ABC и точки пересечения высот O.