Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=1+х^2. И прямой у-2=0

Answer 1

Найдём точки пересечения этих графиков:
$1 + x^2 = 2 \\ x^2 = 1 \\ x = \pm 1$.
Значит, x = -1 - нижний предел, x = 1 - верхний.
$\int\limits^1_{-1} {(2 - 1 - x^2 )} \, dx = \int\limits^1_{-1} {(1 - x^2 )} \, dx = (x - \frac{x^3}{3}) \bigg |_{-1}^1 = (1 + 1) - ( \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) =\\ 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.$

Answer 2

$y_1=1+x^2\\y_2=2\\1+x^2=2\\x_1=-1\\x_2=1\\S= \int\limits^{1}_{-1} {2-(1+x^2)} \, dx= \int\limits^1_{-1} {1-x^2} \, dx=(x- \frac{x^3}{3})|_{-1}^1=1-1/3-\\\\-(-1+1/3)=4/3$

Answer 3

Конечно, я помогу с этим математическим вопросом.

Дано уравнение функции \(y = 1 \cdot x^2\) (или просто \(y = x^2\)), которое представляет параболу, открытую вверх, и прямая \(y - 2 = 0\) (что равнозначно \(y = 2\)).

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции и прямой, необходимо определить точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

\[ \begin{align*} y &= x^2 \\ y &= 2 \end{align*} \]

Теперь найдем точки пересечения, приравнив \(x^2\) к \(2\):

\[x^2 = 2\]

Из этого уравнения можно найти значения \(x\):

\[x = \pm \sqrt{2}\]

Таким образом, точки пересечения графика функции \(y = x^2\) и прямой \(y = 2\) находятся при \(x = -\sqrt{2}\) и \(x = \sqrt{2}\).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, необходимо взять определенный интеграл от \(x = -\sqrt{2}\) до \(x = \sqrt{2}\) разности между \(y = x^2\) и \(y = 2\). Функция \(y = x^2\) находится выше функции \(y = 2\) в интервале \(-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}\).

Площадь этой фигуры можно выразить как:

\[S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (x^2 - 2) \,dx\]

Вычислив этот определенный интеграл, мы найдем значение площади этой фигуры. Давай я рассчитаю его для тебя.

\[ S = \left[\frac{x^3}{3} - 2x\right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \left(\frac{\sqrt{2}^3}{3} - 2\sqrt{2}\right) - \left(\frac{(-\sqrt{2})^3}{3} - 2(-\sqrt{2})\right) \]

\[ S = \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2}\right) - \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 4\sqrt{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \]

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = x^2\) и прямой \(y = 2\), равна \(\frac{8\sqrt{2}}{3}\) (единицы площади, например, квадратные единицы, если \(x\) измеряется в единицах длины).