Question

Доказать неравенство (a^3-b^3)(a-b)>=3ab(a-b)^2

Answer 1

1) ( а^3 - b^3 )( a - b ) = ( а - b )( a^2 + ab + b^2 )( a - b ) = ( a^2 + ab +b^2 )( a - b )^2
2) делим правую и левую части уравнения ( а - b )^2
3) a^2 + ab + b^2 >= 3ab
a^2 + ab + b^2 - 3ab >= 0
a^2 - 2ab + b^2 >= 0
( a - b )^2 >= 0
Квадрат любого числа всегда больше нуля ( или = 0), что требовалось доказать

Answer 2

Для начала раскроем скобки в левой части неравенства:

(a^3 - b^3)(a - b) = a^4 - a^3b - ab^3 + b^4

Заметим, что в правой части неравенства есть множитель (a - b)^2, который можно переписать в виде (a - b)(a - b). Тогда можно заметить следующее:

3ab(a - b)^2 = 3ab(a - b)(a - b) = 3ab(a^2 - 2ab + b^2)

Теперь, чтобы доказать данное неравенство, нам нужно показать, что:

a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 >= 3ab(a^2 - 2ab + b^2)

После преобразований, получим:

a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 - 3ab(a^2 - 2ab + b^2) >= 0

a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 - 3a^3b + 6a^2b^2 - 3ab^3 >= 0

a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 >= 0

(a^2 - 2ab + b^2)^2 >= 0

Это неравенство всегда верно, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Значит, исходное неравенство (a^3 - b^3)(a - b) >= 3ab(a - b)^2 также верно для любых значений a и b.

Таким образом, неравенство доказано.