Question

Разложите на множители x3+7x2−3x−21 Помогите пж )))

Answer 1

Х³+7х²-3х-21 = х²(х+7)-3(х+7) = (х+7)(х²-3)

Answer 2

Конечно, давайте разложим многочлен \(x^3 + 7x^2 - 3x - 21\) на множители. Для начала, поищем рациональные корни многочлена, используя рациональный корень теорему.

Рациональные корни многочлена \(P(x) = x^3 + 7x^2 - 3x - 21\) имеют вид \(\frac{p}{q}\), где \(p\) - делитель свободного члена (-21), а \(q\) - делитель старшего коэффициента (1).

Свободный член многочлена -21 имеет делители: ±1, ±3, ±7, ±21. Старший коэффициент 1 имеет делители: ±1.

Итак, рациональные корни могут быть: ±1, ±3, ±7, ±21.

Попробуем подставить эти значения в многочлен и посмотрим, при каком значении получается ноль.

1. Подставим \(x = 1\): \(1^3 + 7 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 21 = 1 + 7 - 3 - 21 = -16\) 2. Подставим \(x = -1\): \((-1)^3 + 7 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) - 21 = -1 + 7 + 3 - 21 = -12\) 3. Подставим \(x = 3\): \(3^3 + 7 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 - 21 = 27 + 63 - 9 - 21 = 60\) 4. Подставим \(x = -3\): \((-3)^3 + 7 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot (-3) - 21 = -27 + 63 + 9 - 21 = 24\) 5. Подставим \(x = 7\): \(7^3 + 7 \cdot 7^2 - 3 \cdot 7 - 21 = 343 + 343 - 21 - 21 = 644\) 6. Подставим \(x = -7\): \((-7)^3 + 7 \cdot (-7)^2 - 3 \cdot (-7) - 21 = -343 + 343 + 21 - 21 = 0\)

Таким образом, мы нашли, что \(x = -7\) - это корень многочлена. Теперь мы можем разделить многочлен на \(x + 7\) (используя синтетическое деление или деление полиномов) и продолжить факторизацию.

Выполним деление:

\[ \begin{array}{c|cccc} x + 7 & x^3 + 7x^2 - 3x - 21 \\ \hline & x^3 + 7x^2 \\ & \underline{- (x^3 + 7x^2)} \\ & -3x - 21 \\ & \underline{- (-3x - 21)} \\ & 0 \end{array} \]

Таким образом, мы разделили многочлен на \(x + 7\), и теперь можем записать его в виде произведения:

\[ x^3 + 7x^2 - 3x - 21 = (x + 7)(x^2) \]

Теперь у нас есть квадратный многочлен \(x^2\), который мы также можем разложить на множители. Однако, заметим, что \(x^2\) не имеет рациональных корней, поэтому мы можем воспользоваться формулой разложения квадратного трехчлена.

Итак, многочлен разлагается на множители следующим образом:

\[ x^3 + 7x^2 - 3x - 21 = (x + 7)(x^2) = (x + 7)x(x - 3) \]

Таким образом, многочлен разложен на множители \(x + 7\), \(x\) и \(x - 3\).