Question

Число 28 представьте в виде суммы трех слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза меньше другого, а сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей.

Answer 1

Пусть х - первое число, тогда второе число = 2х, третье число = 28-3х
f(x) - сумма квадратов этих чисел
$f(x)=x^2+(2x)^2+(28-3x)^2=x^2+4x^2+28^2-2*28*3x+9x^2=\\=14x^2-14*12x+14*14*4=14(x^2-12x+56)$
Если функция принимает наименьшее значение в какой-то точке, то в этой точке ее производная равна нулю.
$f'(x)=14(2x-12)\\f'(x)=0 => 2x-12=0\\2x=12\\x=6\\2x=12\\28-3x=10$
Ответ: 28 = 6 + 12 + 10

Answer 2

Для решения этой задачи нужно представить число 28 в виде суммы трёх слагаемых таким образом, чтобы одно слагаемое было в два раза меньше другого, а сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей.

Пусть первое слагаемое равно x, тогда второе слагаемое будет 2x (в два раза больше первого слагаемого), а третье слагаемое будет 28 - (x + 2x) = 28 - 3x.

Теперь нужно найти сумму квадратов всех слагаемых и минимизировать её. Сумма квадратов будет равна:

x^2 + (2x)^2 + (28 - 3x)^2

Раскрывая скобки и суммируя подобные слагаемые, получим:

x^2 + 4x^2 + 784 - 168x + 9x^2

Собирая все слагаемые вместе, получим:

14x^2 - 168x + 784

Чтобы найти наименьшую сумму квадратов, нужно найти минимум этой квадратичной функции. Для этого можно использовать метод завершения квадрата или производные.

Метод завершения квадрата

Воспользуемся методом завершения квадрата для нахождения минимума этой функции. Для этого нужно привести нашу квадратичную функцию к виду (a(x - h)^2 + k), где (h, k) - координаты вершины параболы.

14x^2 - 168x + 784 = a(x - h)^2 + k

Сначала разделим все слагаемые на 14 для упрощения выражения:

x^2 - 12x + 56 = (1/14)(x^2 - 12x + 56)

Теперь завершим квадрат, добавив и вычтя (12/2)^2 = 36:

(1/14)(x^2 - 12x + 36 + 20) = (1/14)((x - 6)^2 + 20)

Теперь наша функция имеет вид (a(x - h)^2 + k), где a = 1/14, h = 6 и k = 20.

Наименьшая сумма квадратов

Таким образом, наименьшая сумма квадратов будет равна 20, когда x = 6.

Возвращаясь к нашим слагаемым, мы можем найти их значения:

Первое слагаемое: x = 6 Второе слагаемое: 2x = 2 * 6 = 12 Третье слагаемое: 28 - (x + 2x) = 28 - 18 = 10

Таким образом, число 28 можно представить в виде суммы трех слагаемых: 6 + 12 + 10.