Question

Найдите найменьшее целое число, удовлетворяющее неравенству (x+1)(x-2)(x-3)>0

Answer 1

Наименьшее целое число- это 0

Answer 2

Чтобы решить неравенство \((x + 1)(x - 2)(x - 3) > 0\), мы можем использовать метод интервалов. Этот метод основан на исследовании знаков функции на каждом интервале, образованном корнями уравнения. В данном случае, корни уравнения \( (x + 1)(x - 2)(x - 3) = 0 \) равны -1, 2 и 3.

Сначала разбиваем область числовой прямой на четыре интервала, образованные этими корнями: \((- \infty, -1)\), \((-1, 2)\), \((2, 3)\) и \((3, +\infty)\).

Теперь рассмотрим знаки выражения \((x + 1)(x - 2)(x - 3)\) на каждом из этих интервалов:

1. \((-\infty, -1)\): Возьмем точку из этого интервала, например, \(x = -2\). Подставим это значение в выражение: \((-2 + 1)(-2 - 2)(-2 - 3) = (-1)(-4)(-5) = 20\). Знак положителен.

2. \((-1, 2)\): Возьмем точку из этого интервала, например, \(x = 0\). Подставим это значение в выражение: \((0 + 1)(0 - 2)(0 - 3) = (1)(-2)(-3) = 6\). Знак отрицателен.

3. \((2, 3)\): Возьмем точку из этого интервала, например, \(x = 2.5\). Подставим это значение в выражение: \((2.5 + 1)(2.5 - 2)(2.5 - 3) = (3.5)(0.5)(-0.5) = -0.875\). Знак отрицателен.

4. \((3, +\infty)\): Возьмем точку из этого интервала, например, \(x = 4\). Подставим это значение в выражение: \((4 + 1)(4 - 2)(4 - 3) = (5)(2)(1) = 10\). Знак положителен.

Теперь объединим результаты: интервалы, где выражение положительно, соответствуют интервалам \((- \infty, -1)\) и \((3, +\infty)\). Таким образом, неравенство \((x + 1)(x - 2)(x - 3) > 0\) выполняется для \(x\) из этих интервалов.

Таким образом, ответ на задачу: наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, это \(x = -1\).