Question

Решить уравнение 4^x-14*2^x-32=0

Answer 1

4=2²
4^x=2^2x
2^2x-14*2^x-32=0
2^x=t≥0
t²-14t-32=0
D=49+32=81
t1=7-9=-2<0
t2=7+9=16
2^x=16    2^x=2^4      x=4

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

4^x - 14 * 2^x - 32 = 0

Чтобы решить это уравнение, давайте проведем некоторые преобразования.

Замена переменных:

Для удобства, давайте введем новую переменную: y = 2^x. Тогда уравнение примет вид:

4^x - 14 * y - 32 = 0

Подстановка:

Теперь мы можем заменить 4^x в уравнении на y^2:

y^2 - 14 * y - 32 = 0

Решение квадратного уравнения:

Это квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации, завершения квадрата или квадратного корня. В данном случае, проще всего воспользоваться факторизацией.

Мы ищем два числа, которые умножаются, дают -32, а складываются, дают -14. Такими числами являются -16 и 2:

(y - 16)(y + 2) = 0

Решение уравнения:

Теперь у нас есть два возможных значения для y:

1) y - 16 = 0 => y = 16 2) y + 2 = 0 => y = -2

Обратная замена:

Поскольку мы вводили новую переменную y = 2^x, мы можем использовать это, чтобы найти значения x:

1) y = 2^x, поэтому 16 = 2^x. Решая это уравнение, получаем x = 4. 2) y = 2^x, поэтому -2 = 2^x. Это уравнение не имеет решений, так как никакое число, возведенное в любую степень, не даст отрицательный результат.

Ответ:

Таким образом, уравнение 4^x - 14 * 2^x - 32 = 0 имеет одно решение: x = 4.