Question

Найдите область определения функции: f(x)= √x²-9/x-1 + 1/x-7

Answer 1

$f(x)= \frac{ \sqrt{x^2-9} }{x-1}+ \frac{1}{x-7}\\\\1) \; \; x^2-9 \geq 0\\(x-3)(x+3) \geq 0\\x\in(-\infty;-3]U[3;+\infty)\\\\2) \; \; x-1 \neq 0\\x \neq 1\\\\3)\; \; x-7 \neq 0\\x \neq 7\\\\OD3: x\in(-\infty;-3]U[3;7)U(7;+\infty)$

Answer 2

Для определения области определения функции \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x - 1} + \frac{1}{x - 7} \) нужно учесть два основных аспекта:

1. Квадратный корень \( \sqrt{x^2 - 9} \): Квадратный корень определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения \( x^2 - 9 \geq 0 \), чтобы избежать извлечения корня из отрицательного числа. Решим неравенство \( x^2 - 9 \geq 0 \): \( x^2 - 9 \geq 0 \) \( (x + 3)(x - 3) \geq 0 \) Это неравенство будет верным при \( x \leq -3 \) или \( x \geq 3 \).

2. Знаменатели дробей \( (x - 1) \) и \( (x - 7) \): Функция содержит дроби, поэтому мы должны исключить значения \( x \), при которых знаменатели становятся равными нулю, так как деление на ноль невозможно.

Оба знаменателя \( (x - 1) \) и \( (x - 7) \) не должны быть равны нулю:

\( x - 1 \neq 0 \) и \( x - 7 \neq 0 \) \( x \neq 1 \) и \( x \neq 7 \)

Теперь объединим оба условия, чтобы определить область определения функции \( f(x) \):

Область определения \( f(x) \) будет соответствовать пересечению областей, удовлетворяющих этим условиям:

1. \( x \leq -3 \) или \( x \geq 3 \) (для корня) 2. \( x \neq 1 \) и \( x \neq 7 \) (для знаменателей дробей)

Таким образом, область определения функции \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 9}}{x - 1} + \frac{1}{x - 7} \) будет:

\( x \leq -3 \) или \( x \geq 3 \), при этом \( x \neq 1 \) и \( x \neq 7 \).