Question

докажите что функция F есть первообразная для функции f на промежутке RF(x)=2sin2x-2,f(x)=4cos2x

Answer 1

найдем производную F(штрих)(х)=f(x)

 F(штрих)(х)=(2cos2x)2=4cos2x

Answer 2

Для того чтобы доказать, что функция F является первообразной для функции f на промежутке, мы должны показать, что производная функции F равна функции f.

Дано: f(x) = 4cos^2(x) F(x) = 2sin^2(x) - 2

Для начала, найдем производную функции F. Производная функции F(x) будет равна производной первого слагаемого минус производной второго слагаемого.

F'(x) = (d/dx) [2sin^2(x)] - (d/dx) [2] F'(x) = 4sin(x)cos(x) - 0 F'(x) = 4sin(x)cos(x)

Теперь сравним полученную производную F'(x) с функцией f(x) и убедимся, что они равны.

f(x) = 4cos^2(x) F'(x) = 4sin(x)cos(x)

Мы видим, что производная функции F(x) равна функции f(x). Таким образом, функция F является первообразной для функции f на промежутке.

Доказательство:

Мы можем использовать интеграл для подтверждения этого. Если производная функции равна функции, то интеграл от функции должен быть равен исходной функции (с добавлением постоянной).

∫ (4sin(x)cos(x)) dx = 2sin^2(x) - 2 + C

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, мы доказали, что функция F(x) = 2sin^2(x) - 2 является первообразной для функции f(x) = 4cos^2(x) на промежутке.