Question

Найдите наименьшее значение функции е^2x - 6e^x + 2 на отрезке [1; 2]

Answer 1

f'(x)=2e^2x-6e^x=2e^x(e^x-3)=0

e^x-3=0

e^x=3

x=ln3

1<ln3<2

f'(x)>0 на интервале (ln3, + бесконечности) , функция на этом интервале возрастает

f'(x)<0 на интервале (- бесконечности, ln3),  функция на этом интервале убывает

наименьшее значение функция проинимает в х=ln3

f(ln3)=(e^ln3)^2-6e^ln3+2=3^2-6*3+2=9-18+2=-7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции \(f(x) = e^{2x} - 6e^x + 2\) на отрезке \([1; 2]\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдите производную функции: \[f'(x) = 2e^{2x} - 6e^x.\]

2. Решите уравнение \(f'(x) = 0\) для нахождения критических точек: \[2e^{2x} - 6e^x = 0.\]

Решение этого уравнения дает критические точки. Решим его:

\[2e^x(e^x - 3) = 0.\]

Из этого уравнения следует, что \(e^x = 0\) (что невозможно) или \(e^x = 3\). Таким образом, получаем \(x = \ln(3)\) как критическую точку.

3. Найдите значения функции в критической точке и на концах отрезка: - \(f(1)\) - \(f(2)\) - \(f(\ln(3))\)

4. Сравните значения и определите наименьшее: - Вычислите значения функции в найденных точках и выберите минимальное.

Теперь давайте выполним эти шаги:

1. Производная функции: \[f'(x) = 2e^{2x} - 6e^x.\]

2. Критические точки: \[2e^x(e^x - 3) = 0.\] Решение: \(e^x = 3\) или \(x = \ln(3)\).

3. Значения функции: - \(f(1) = e^2 - 6e + 2\) - \(f(2) = e^4 - 6e^2 + 2\) - \(f(\ln(3)) = 9 - 18\ln(3) + 2\)

4. Сравнение значений: - Вычислите значения и выберите минимальное.

Вы можете использовать калькулятор для численного вычисления этих значений. В результате вы должны получить точку, в которой функция достигает своего минимального значения на заданном интервале.