Question

с помощью замены на эквивалентные, найти предел lim стремится к 0 ln(1-3x)/sin 5x

Answer 1

$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1-3x)}{sin5x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3}{5}= \frac{-3}{5}$

Answer 2

Для нахождения предела lim(x -> 0) ln(1-3x) / sin(5x) с помощью замены на эквивалентные выражения, мы можем использовать некоторые стандартные пределы и свойства функций.

Замена на эквивалентные выражения

Для начала, мы можем заменить ln(1-3x) на эквивалентное выражение, используя разложение в ряд Тейлора. Разложение ln(1-3x) в ряд Тейлора в окрестности x = 0 будет выглядеть следующим образом:

ln(1-3x) = -3x - (9/2)x^2 - (27/3)x^3 - ...

Также мы можем заменить sin(5x) на само выражение 5x, поскольку sin(x) / x стремится к 1 при x стремящемся к 0.

Замена исходной функции

Используя замены, наша исходная функция может быть переписана как:

lim(x -> 0) (-3x - (9/2)x^2 - (27/3)x^3 - ...) / (5x)

Упрощение выражения

Теперь мы можем упростить полученное выражение, устраняя общие множители и сокращая степени переменной x:

lim(x -> 0) (-3 - (9/2)x - (27/3)x^2 - ...) / 5

Нахождение предела

Теперь мы можем найти предел, подставляя x = 0 в полученное упрощенное выражение:

lim(x -> 0) (-3 - (9/2)x - (27/3)x^2 - ...) / 5 = -3/5

Таким образом, предел lim(x -> 0) ln(1-3x) / sin(5x) равен -3/5.