Question

Как решить определенный интеграл ?интеграл сверху pi а снизу 0 (2x^2+4x+7)cos2xdx

Answer 1

DV=cos2x              v=1/2 sin2x
U=2x^2+4x+7         du=(4x+4)dx
UV - $\int\limits^ \pi _0 {VdU } , dx$

Answer 2

Давайте рассмотрим интеграл \(\int_{0}^{\pi} (2x^2 + 4x + 7)\cos(2x) \,dx\).

Чтобы решить этот интеграл, мы можем использовать метод интегрирования по частям, который основан на формуле \( \int u \,dv = uv - \int v \,du\). В данном случае, давайте выберем:

\[u = (2x^2 + 4x + 7), \quad dv = \cos(2x) \,dx.\]

Теперь дифференцируем \(u\) и находим его дифференциал \(du\):

\[du = (4x + 4) \,dx.\]

И интегрируем \(dv\) для нахождения \(v\):

\[v = \frac{1}{2} \sin(2x).\]

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

\[\int (2x^2 + 4x + 7)\cos(2x) \,dx = uv - \int v \,du.\]

\[= (2x^2 + 4x + 7) \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) - \int \frac{1}{2} \sin(2x) \cdot (4x + 4) \,dx.\]

Теперь мы можем продолжить интегрирование. Разбиваем второй интеграл на два:

\[= (2x^2 + 4x + 7) \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} \int \sin(2x) \cdot (4x + 4) \,dx - \frac{1}{2} \int \sin(2x) \,dx.\]

Интегрируем каждый из этих интегралов:

\[= (2x^2 + 4x + 7) \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} \left(-2\cos(2x) \cdot (4x + 4) - \int -2\cos(2x) \cdot 4 \,dx\right) - \frac{1}{4} \int 2\cos(2x) \,dx.\]

\[= (2x^2 + 4x + 7) \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) + (2\cos(2x) \cdot (4x + 4)) + \frac{1}{4} \int 2\cos(2x) \,dx.\]

\[= (2x^2 + 4x + 7) \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) + 2\cos(2x) \cdot (4x + 4) + \frac{1}{8} \sin(2x) + C.\]

Теперь мы можем подставить пределы интегрирования от 0 до \(\pi\) и найти окончательное значение:

\[\int_{0}^{\pi} (2x^2 + 4x + 7)\cos(2x) \,dx = \left[\frac{1}{2} \sin(2\pi) + 2\cos(2\pi) \cdot (4\pi + 4) + \frac{1}{8} \sin(2\pi)\right]\]

\[- \left[\frac{1}{2} \sin(0) + 2\cos(0) \cdot (4 \cdot 0 + 4) + \frac{1}{8} \sin(0)\right].\]

Так как \(\sin(2\pi) = \sin(0) = 0\) и \(\cos(2\pi) = \cos(0) = 1\), мы получаем:

\[= 0 - \left[0 + 2 \cdot 1 \cdot (4\pi + 4) + 0\right].\]

\[= -8\pi - 8.\]

Таким образом, окончательный ответ:

\[\int_{0}^{\pi} (2x^2 + 4x + 7)\cos(2x) \,dx = -8\pi - 8.\]