Question

Найдите критические точки функции F (x) =2sinx-3cosx

Answer 1

Возьмите производную и приравняйте к нулю- вот вам и критические точки

Ответ:2pi*n+2arctg(2/(-3+sqrt(13))) и 2pi*n-2arctg(2/(3+sqrt(13)))

Answer 2

Критические точки функции находятся там, где её производная равна нулю или не существует. Давайте найдем производную функции F(x) = 2sinx - 3cosx и приравняем её к нулю:

\[ F'(x) = 2cosx + 3sinx \]

Теперь приравняем производную к нулю:

\[ 2cosx + 3sinx = 0 \]

Решим это уравнение. Разделим обе стороны на \(\sqrt{13}\) (корень из суммы квадратов коэффициентов перед sinx и cosx):

\[ \frac{2}{\sqrt{13}}cosx + \frac{3}{\sqrt{13}}sinx = 0 \]

Умножим обе стороны на \(\sqrt{13}\):

\[ 2cosx + 3sinx = 0 \]

Теперь можно воспользоваться тригонометрическим тождеством:

\[ sin(x - \phi) = sinx \cdot cos\phi - cosx \cdot sin\phi \]

Сравним с уравнением:

\[ 2cosx + 3sinx = sin(x - \phi) \]

Сравнивая коэффициенты, получаем:

\[ cos\phi = -2, \quad sin\phi = -3 \]

Отсюда следует, что \(\phi = arctan\left(\frac{-3}{-2}\right)\), и тогда:

\[ x - \phi = arctan\left(\frac{3}{2}\right) \]

Таким образом, критическая точка \(x\) может быть найдена как:

\[ x = arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \phi \]

Это значение \(x\) является одной из критических точек функции. Однако, чтобы определить, является ли это минимумом, максимумом или седловой точкой, нужно проанализировать вторую производную функции в найденных точках. Если \(F''(x) > 0\), то это минимум; если \(F''(x) < 0\), то это максимум; если \(F''(x) = 0\), то нужен другой метод анализа.

Вторая производная функции \(F(x) = 2sinx - 3cosx\) равна:

\[ F''(x) = -2sinx - 3cosx \]

Теперь подставим \(x = arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \phi\) и оценим знак второй производной в этой точке.

\[ F''\left(arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \phi\right) = -2sin\left(arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \phi\right) - 3cos\left(arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \phi\right) \]

Знак этой второй производной позволит определить, является ли критическая точка минимумом, максимумом или седловой точкой.