Question

Подберите формулу n-го члена конечной последовательности: 1 дробь 3, 1, 9 дробь 5, 8дробь3, 25 дробь 7

Answer 1

$\frac{1}{3},\; 1,\; \frac{9}{5},\; \frac{8}{3}=\frac{16}{6},\; \frac{25}{7}=\frac{1^2}{1+2},\; \frac{2^2}{2+2},\; \frac{3^2}{3+2},\; \frac{4^2}{4+2},\; \frac{5^2}{5+2}\\\\a_{n}=\frac{n^2}{n+2}$

Answer 2

Для подбора формулы n-го члена конечной последовательности, нам необходимо проанализировать данную последовательность и выявить закономерность в числах. Данная последовательность состоит из нескольких дробей, и каждая дробь содержит числитель и знаменатель.

Анализ последовательности

Данная последовательность: 1/3, 1, 9/5, 8/3, 25/7

Рассмотрим числители и знаменатели отдельно:

- Числители: 1, 1, 9, 8, 25 - Знаменатели: 3, 1, 5, 3, 7

Обратим внимание, что числители образуют арифметическую последовательность: 1, 1, 9, 8, 25. Поскольку разница между соседними числителями не постоянна, мы можем предположить, что здесь может быть использована квадратичная (квадратная) формула.

Формула n-го члена

Для подбора формулы n-го члена, мы можем использовать следующую формулу для числителей:

n-й числитель = a * n^2 + b * n + c

где a, b и c - коэффициенты, которые мы попытаемся определить.

Подбор коэффициентов

Для подбора коэффициентов, мы можем использовать первые три числителя из последовательности:

- Первый числитель (n = 1): 1 = a * 1^2 + b * 1 + c - Второй числитель (n = 2): 1 = a * 2^2 + b * 2 + c - Третий числитель (n = 3): 9 = a * 3^2 + b * 3 + c

Решив эту систему уравнений, мы сможем определить значения a, b и c.

Решение системы уравнений

Решим систему уравнений:

1. 1 = a + b + c 2. 1 = 4a + 2b + c 3. 9 = 9a + 3b + c

Вычтем первое уравнение из второго и третьего:

1. 1 = a + b + c 2. 0 = 3a + b 3. 8 = 8a + 2b

Вычтем второе уравнение из третьего:

1. 1 = a + b + c 2. 0 = 3a + b 3. 8 = 5a + b

Теперь выразим b через a из второго уравнения:

b = -3a

Подставим это значение b в третье уравнение:

8 = 5a - 3a 8 = 2a a = 4

Теперь найдем b:

b = -3a b = -3 * 4 b = -12

Найдем c, подставив значения a и b в первое уравнение:

1 = a + b + c 1 = 4 + (-12) + c 1 = -8 + c c = 9

Формула n-го члена

Таким образом, формула n-го числителя в нашей последовательности будет:

n-й числитель = 4n^2 - 12n + 9

Заключение

Таким образом, формула для n-го числителя данной последовательности будет 4n^2 - 12n + 9. Аналогичным образом можно провести анализ и для знаменателей, если есть закономерность.