Question

(3x-15)/x^2+5x-14>=0

Answer 1

(3x-15)/(x²+5x-14)≥0
x²+5x-14=0   D=81
x₁=2    x₂=-7
3(x-5)/((x-2)(x+7))≥0    |÷3         ОДЗ:   x≠2        x≠-7
(x-5)/((x-2)(x+7)≥0
-∞_____-______-7______+______2_____-______5_____+_____+∞
x∈(-7;2)U[5;+∞).

Answer 2

Конечно, я помогу разобраться с этим неравенством. Давай начнём с того, чтобы решить его.

Итак, у нас есть неравенство:

\(\frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14} \geq 0\)

Чтобы найти решение этого неравенства, нужно определить значения \(x\), при которых выражение \(\frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14}\) больше или равно нулю.

Сначала посмотрим на знаменатель дроби \(x^2 + 5x - 14\). Мы можем его факторизовать:

\(x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)\)

Теперь нам нужно найти значения \(x\), при которых числитель и знаменатель дроби будут равны нулю:

Числитель: \(3x - 15 = 3(x - 5)\) Знаменатель: \(x^2 + 5x - 14 = 0\) при \(x = -7\) или \(x = 2\)

Эти точки (\(x = -7\), \(x = 2\), \(x = 5\)) делят область числовой прямой на интервалы. Теперь мы должны проверить знак выражения \(\frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14}\) на каждом из этих интервалов.

1. Для \(x < -7\): Выберем \(x = -8\) Подставляем \(x = -8\) в \(\frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14}\): \(\frac{3(-8) - 15}{(-8)^2 + 5(-8) - 14} = \frac{-39}{70}\), что отрицательно.

2. Для \(-7 < x < 2\): Выберем \(x = 0\) Подставляем \(x = 0\) в \(\frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14}\): \(\frac{3(0) - 15}{(0)^2 + 5(0) - 14} = \frac{-15}{-14}\), что положительно.

3. Для \(x > 2\): Выберем \(x = 3\) Подставляем \(x = 3\) в \(\frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14}\): \(\frac{3(3) - 15}{(3)^2 + 5(3) - 14} = \frac{0}{16}\), что равно 0.

Таким образом, решение неравенства \(\frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14} \geq 0\) будет:

\(x \in (-\infty, -7) \cup (-7, 2] \cup (2, +\infty)\)