Question

Найдите корни уравнения cos(3x-pi/2)=1/2 принадлежащей полуинтервалу (pi ; 3pi/2) 3pi/2 включается

Answer 1

Омогите с алгеброй, умоляю
вычислите
а) 3arcctg (-√3/3) + 1/2arccos √2/2 =-3*π/3+1/2*π/4=-π+π/8=-7π/8
б) tg (arccos √3/2 - 1/2arcctg 1/√3)= tg(π/6-1/2*π/3)= tg0=0

решите уравнение
а) 2cos^2 x + 5sinx - 4 = 0
2(1- sin²x) + 5sinx - 4 = 0
-2 sin²x+ 5sinx-2=0
у= sinx- замена
-2у²+5у-2=0
Д=5²-4*(-2)*(-2)=9
х₁=-5+√9/2*(-2)=-5+3/-4=-2/-4=1/2
х₂=-5-√9/2*(-2)=-5-3/-4=-8/-4=2
sinx=1/2 либо sinx=2
х=(-1)ⁿπ/6+πn либо решений нет, т. к. -1≤ sinx≤1
Ответ: х=(-1)ⁿπ/6+πn
б) sin^2 x + cosx sinx = 0
sin^2 x(1+ctgх) =0
sinx=0 либо сtgх=-1
х=πn либо х=-π/4+πn
найдите корни уравнения
cos(3x-pi/2)=1/2
sin3x=1/2
3х=(-1)ⁿπ/6+πn
х=(-1)ⁿπ/18+πn/3
n=4
х=(-1)⁴π/18+π4/3=25π/18
n=-3
х=(-1)⁻³π/18+π(-3)/3=-19π/18
принадлежащие интервалу (pi; 3pi/2]

Answer 2

Давайте найдем корни уравнения \(\cos(3x - \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\) на заданном интервале \((\pi, \frac{3\pi}{2}]\).

1. Начнем с уравнения \(\cos(3x - \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\).

2. Решим это уравнение для \(3x - \frac{\pi}{2}\):

\[ \begin{align*} \cos(3x - \frac{\pi}{2}) &= \frac{1}{2} \\ 3x - \frac{\pi}{2} &= \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{(где \(k\) - целое число)} \\ 3x &= \frac{\pi}{2} \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ \end{align*} \]

3. Теперь найдем значения \(x\):

\[ \begin{align*} x &= \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \end{align*} \]

4. Теперь ограничим значения \(k\) так, чтобы \(3x - \frac{\pi}{2}\) попадало в заданный интервал \((\pi, \frac{3\pi}{2}]\):

\[ \begin{align*} \frac{\pi}{2} < 3x - \frac{\pi}{2} \leq \frac{3\pi}{2} \\ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} < 3x \leq \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \\ \pi < 3x \leq 2\pi \\ \frac{\pi}{3} < x \leq \frac{2\pi}{3} \end{align*} \]

5. Таким образом, для корней, принадлежащих полуинтервалу \((\pi, \frac{3\pi}{2}]\), подходят только значения \(k = 0\) и \(k = 1\).

Таким образом, корни уравнения \(\cos(3x - \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\), принадлежащие полуинтервалу \((\pi, \frac{3\pi}{2}]\), это:

\[ \begin{align*} x_1 &= \frac{\pi}{6} \quad \text{(при \(k = 0\))} \\ x_2 &= \frac{5\pi}{6} \quad \text{(при \(k = 1\))} \end{align*} \]

Эти значения соответствуют условиям задачи.