Question

Составить уравнение касательной к графику функции y=3x^3-12x-15 в точке с абсциссой х=-2

Answer 1

Уравнение касательной
$f(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)$
Производную ищем $y'=9x^2-12$
Вычислим значение производной в точке х0
$y'(x_0)=9*(-2)^2-12=36-12=24$
Значение функции в точке х0
$y(x_0)=3*(-2)^3-12*(-2)-15=-24+24-15=-15$
Составим уравнение касательной
$f(x)=24(x+2)-15=24x+48-15=\boxed{24x+33}$

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(y = 3x^3 - 12x - 15\) в точке с абсциссой \(x = -2\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции \(y = 3x^3 - 12x - 15\). Обозначим её через \(y'\):

\[y' = \frac{dy}{dx} = 9x^2 - 12.\]

2. Теперь подставим \(x = -2\) в уравнение производной, чтобы найти значение производной в данной точке:

\[y'(-2) = 9(-2)^2 - 12 = 36 - 12 = 24.\]

Это значение представляет угловой коэффициент касательной.

3. Используем найденное значение производной и координаты точки \((x, y)\) для построения уравнения касательной в форме \(y - y_1 = m(x - x_1)\), где \((x_1, y_1)\) - координаты точки касания, а \(m\) - угловой коэффициент:

\[y - y_1 = m(x - x_1).\]

В нашем случае, \((x_1, y_1) = (-2, f(-2))\) и \(m = y'(-2)\).

4. Подставим значения и упростим уравнение:

\[y - f(-2) = 24(x + 2).\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y = 3x^3 - 12x - 15\) в точке с абсциссой \(x = -2\) имеет вид:

\[y = 24x + 3.\]