Question

Уравнение: Cosx(tgx-cosx)=-sin^2x Как решать? Помогитее пожалуйста

Answer 1

$cosx*(tgx-cosx)=-sin^{2}x$
$cosx*tgx-cos^{2}x+sin^{2}x=0$
$cosx* \frac{sinx}{cosx} -cos^{2}x+sin^{2}x=0$
$sinx-(1-sin^{2}x)+sin^{2}x=0$
$sinx-1+sin^{2}x+sin^{2}x=0$
$2sin^{2}x+sinx-1=0$

Замена: $sinx=t$, t∈[-1;1]
$2t^{2}+t-1=0, D=1+4*2=9$
$t_{1}= \frac{-1+3}{4}=0.5$
$t_{2}= \frac{-1-3}{4}=-1$

Вернемся к замене:
1) $sinx=0.5$
$x_{1}=\frac{ \pi }{6}+2 \pi k$, k∈Z
$x_{2}=\frac{5 \pi }{6}+2 \pi k$, k∈Z

2) $sinx=-1$
$x=-\frac{\pi }{2}+2 \pi k$, k∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами функций.

Исходное уравнение: cosx(tgx - cosx) = -sin^2x + К

Применим тригонометрическое тождество для тангенса: tgx = sinx/cosx

Подставим это тождество в исходное уравнение:

cosx(sinx/cosx - cosx) = -sin^2x + К

Упростим выражение, сократив cosx:

sinx - cos^2x = -sin^2x + К

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

-sin^2x - cos^2x + sinx + cos^2x = К

Используем основное тригонометрическое тождество sin^2x + cos^2x = 1:

1 - sin^2x + sinx = К

Приведем подобные слагаемые:

1 + sinx - sin^2x = К

Теперь перепишем уравнение в квадратном виде:

sin^2x - sinx + (1 - К) = 0

Данное квадратное уравнение можно решить, применив квадратную формулу:

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -1, c = 1 - К

D = (-1)^2 - 4(1)(1 - К) = 1 - 4 + 4К = 4К - 3

Теперь рассмотрим случаи:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня: sinx = (-b ± √D) / (2a) sinx = (1 ± √(4К - 3)) / 2

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень: sinx = -b / 2a sinx = 1 / 2

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, в зависимости от значения К, можно найти значения sinx и далее найти значения x, используя обратные тригонометрические функции.

Надеюсь, это поможет вам решить уравнение.