Question

3^sin^2(x)+3^cox^2(x)=2√3

Answer 1

3^sin²x+3^(1-sin²x)-2√3=0
3^sin²x=a
a²-2√3a+3=0
(a-√3)²=0
a=√3
3^sin²x=√3
sin²x=1/2
(1-cos2x)/2=1/2
1-cos2x=1
cos2x=0
2x=π/2+πn,n∈z
x=π/4+πn,n∈z

Answer 2

Давайте начнем с того, что данное уравнение содержит тригонометрические функции и степени. У нас есть уравнение вида \(3^{\sin^2(x)} + 3^{\cos^2(x)} = 2\sqrt{3}\).

Для начала, давайте вспомним основные свойства тригонометрических функций.

1. \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Это основное тригонометрическое тождество, которое говорит нам о связи между синусом и косинусом угла.

Теперь давайте заметим, что в уравнении у нас сумма двух выражений вида \(3^{\sin^2(x)}\) и \(3^{\cos^2(x)}\). Если мы можем выразить одно из них через другое, то у нас будет одно уравнение с одной неизвестной.

Используя тригонометрическое тождество \(3^{\sin^2(x)} + 3^{\cos^2(x)} = 2\sqrt{3}\), мы видим, что выражение очень похоже на сумму, равную \(2\sqrt{3}\).

Теперь давайте вспомним, что минимальное значение для любого положительного числа \(a^x\) (где \(a > 0\) и \(a \neq 1\)) - это 1, а максимальное значение бесконечность. Это означает, что \(3^{\sin^2(x)}\) и \(3^{\cos^2(x)}\) могут быть числами от 1 до бесконечности.

Учитывая, что мы ищем значения, которые в сумме дают \(2\sqrt{3}\), мы можем сделать вывод, что каждое из слагаемых в сумме должно быть равно \(\sqrt{3}\).

Таким образом, можно предположить, что \(\sin^2(x)\) и \(\cos^2(x)\) равны \(1\), так как это дает нам значение \(3^1 = 3\), что при суммировании двух таких слагаемых даст \(2\sqrt{3}\).

С учетом этого предположения можно записать уравнение следующим образом:

\(\sin^2(x) = 1\) и \(\cos^2(x) = 1\).

Это означает, что \(x\) может быть углом, для которого \(\sin(x) = 1\) или \(\cos(x) = 1\), поскольку \(\sin^2(x) = 1\) и \(\cos^2(x) = 1\) соответственно.

Однако, необходимо уточнить, что оба этих условия могут выполняться только при определенных значениях \(x\), поскольку синус и косинус - периодические функции.

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие условиям \(\sin^2(x) = 1\) или \(\cos^2(x) = 1\), это \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\) и \(x = 0 + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Итак, у нас есть бесконечное множество решений для данного уравнения, которые будут повторяться с периодом \(2\pi\).