Question

Исследовать на четность функцию y= х^3 - 1/х

Answer 1

D(f)=(-беск;0)обьедин(0;беск)
F(-x)=(-x)^3-1/-x=-x^3+1/x функция нечетная

Answer 2

Функция y = x^3 - 1/x имеет вид кубической функции, где x - независимая переменная, а y - зависимая переменная. Для исследования функции на четность, нужно проанализировать ее симметрию относительно оси ординат.

Проверка на четность

Четная функция обладает свойством симметрии относительно оси ординат, что означает, что для любого значения x, значение функции y будет одинаковым для x и -x.

Для проверки четности функции y = x^3 - 1/x, нужно заменить x на -x и посмотреть, сохранится ли значение функции.

Подставим -x вместо x в исходную функцию:

f(-x) = (-x)^3 - 1/(-x) = -x^3 - 1/(-x)

Теперь сравним полученное выражение с исходной функцией.

Если f(-x) = f(x), то функция является четной.

Подставляя значения, получаем:

(-x)^3 - 1/(-x) = x^3 - 1/x

Мы видим, что значения совпадают, поэтому функция y = x^3 - 1/x является четной.

Другие аспекты исследования функции

Помимо проверки на четность, можно также исследовать другие аспекты функции, такие как область определения, область значений, точки пересечения с осями координат, экстремумы и т.д.

Область определения: Функция y = x^3 - 1/x определена для любого значения x, кроме x = 0 (так как в знаменателе присутствует деление на x). Таким образом, область определения функции - все вещественные числа, кроме 0.

Область значений: Область значений функции y = x^3 - 1/x зависит от области определения. Поскольку функция является кубической, она может принимать любое вещественное значение.

Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осями координат, нужно приравнять функцию к нулю и решить уравнение:

x^3 - 1/x = 0

Это уравнение не может быть решено аналитически, поэтому для поиска точек пересечения с осями координат можно использовать численные методы или графический метод.

Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для функции y = x^3 - 1/x можно найти производную и приравнять ее к нулю:

f'(x) = 3x^2 + 1/x^2 = 0

Решение этого уравнения даст значения x, в которых функция имеет экстремумы.

Пример кода

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = x**3 - 1/x

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = x^3 - 1/x')
plt.grid(True)
plt.show()

Обратите внимание: При построении графика функции следует учитывать, что она имеет вертикальную асимптоту в точке x = 0, так как в этой точке знаменатель равен нулю.