Question

Докажите тождество a4 – 1 = (a – 1)(a3 + a2 + a + 1).

Answer 1

A⁴-1=(a²-1)(a²+1)=(a-1)(a+1)(a²+1)=(a-1)(a³+a²+a+1)

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства тождества a^4 - 1 = (a - 1)(a^3 + a^2 + a + 1), мы можем использовать алгебраические свойства и методы факторизации. Давайте раскроем правую часть уравнения, чтобы увидеть, сможем ли мы получить левую часть.

Правая часть: (a - 1)(a^3 + a^2 + a + 1) = a * a^3 + a * a^2 + a * a + a * 1 - 1 * a^3 - 1 * a^2 - 1 * a - 1 * 1 = a^4 + a^3 + a^2 + a - a^3 - a^2 - a - 1 = a^4 - 1

Как видно, правая часть действительно равна левой части, что доказывает истинность данного тождества.

Также можно использовать другой подход для доказательства этого тождества. Рассмотрим выражение a^4 - 1. Мы можем применить разность квадратов, чтобы факторизовать это выражение:

a^4 - 1 = (a^2)^2 - 1^2 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)

Затем мы можем применить разность квадратов снова внутри первого множителя:

(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)

Теперь мы видим, что левая часть выражения равна (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1), что доказывает тождество.

Таким образом, мы доказали тождество a^4 - 1 = (a - 1)(a^3 + a^2 + a + 1) двумя различными способами, используя алгебраические свойства и методы факторизации.