Question

Колличество целых решений неравенства x^3*|x^2-10x+16|>0 на промежутке (-1;7] равно?

Answer 1

X³|x²-10x+16|>0, x∈Z,      (-1;7]

x²-10x+16=(x-2)(x-8)   (по т. Виета)
{x₁*x₂=16
{x₁+x₂=10  => x₁=2; x₂=8

x³|(x-2)(x-8)|>0

_____2__________8_________

1) x<2                                -                     +                      -                      +
    x³(x-2)(x-8)>0        ______0________2__________8________
                                                    
    x∈(0;2)

2)2<x<8                            +                       -                      +                     -
   -x³(x-2)(x-8)>0       ______0_________2__________8________
   
   x∈(2;8)

3) x>8                               -                       +                         -                     +
    x³(x-2)(x-8)>0      ______0_________2____________8________

    x∈(8;+∞)

Решение неравенства: х∈(0;2)U(2;8)U(8;+∞)
Целые решения на промежутке (-1;7]:    {1; 3;4;5;6;7}
Ответ: 6 целых решений

Answer 2

Для начала, рассмотрим выражение внутри модуля |x^2-10x+16|.

Посмотрим на его факторизацию: x^2 - 10x + 16 = (x-2)(x-8)

Теперь рассмотрим выражение x^3 * |x^2-10x+16|. Если x < 2 или x > 8, то модуль будет равен положительному значению, так как оба множителя (x-2) и (x-8) будут отрицательными или положительными.

Таким образом, неравенство x^3 * |x^2-10x+16| > 0 выполняется, когда x < 2 или x > 8.

Теперь рассмотрим случай, когда 2 ≤ x ≤ 8. В этом случае модуль |x^2-10x+16| будет равен нулю только при x = 2 или x = 8. Все остальные значения x, находящиеся в этом интервале, приведут к положительному значению модуля.

Таким образом, неравенство x^3 * |x^2-10x+16| > 0 также выполняется при 2 ≤ x ≤ 8.

Итак, мы получили, что неравенство x^3 * |x^2-10x+16| > 0 выполняется на промежутке (-1;7] для всех значений x, кроме x = 2 и x = 8.

Количество целых решений неравенства x^3 * |x^2-10x+16| > 0 на промежутке (-1;7] равно количеству целых чисел, которые удовлетворяют этому неравенству.

Так как неравенство выполняется для всех значений x, кроме x = 2 и x = 8, то количество целых решений равно количеству целых чисел на промежутке (-1;7], за исключением чисел 2 и 8.

Таким образом, количество целых решений неравенства x^3 * |x^2-10x+16| > 0 на промежутке (-1;7] равно 7 - (-1) - 1 - 1 = 6.