Question

Как разложить на множители x^4-3x^2+1

Answer 1

Можно решить биквадратное уравнение (найти корни квадратного трехчлена)))
z^2 - 3z + 1 = 0
D = 9-4 = 5
z1 = (3 - V5) / 2
z2 = (3 + V5) / 2
тогда 
z^2 - 3z + 1 = (z - z1)(z - z2) = (z - (3 - V5) / 2)(z - (3 + V5) / 2) = 
(1/4) * (2z - 3 + V5) * (2z - 3 - V5)
вернемся к (х)
(2x^2 - 3 + V5) * (2x^2 - 3 - V5) / 4
можно проверить, раскрыв скобки...

Answer 2

Факторизация многочлена x^4 - 3x^2 + 1

Для начала рассмотрим данное выражение как квадратное уравнение относительно переменной x^2. Обозначим x^2 как t. Тогда наше уравнение примет вид t^2 - 3t + 1.

Теперь рассмотрим уравнение t^2 - 3t + 1 как квадратное уравнение относительно переменной t. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где a = 1, b = -3, c = 1. Подставим значения:

\[ t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4*1*1}}{2*1} \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два корня: t = (3 + √5)/2 и t = (3 - √5)/2.

Теперь мы можем вернуться к переменной x. Мы знаем, что t = x^2, поэтому:

\[ x^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \] и \[ x^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \]

Теперь найдем корни x, взяв квадратный корень от обеих сторон уравнений:

\[ x = \pm\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} \] и \[ x = \pm\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \]

Таким образом, мы разложили многочлен x^4 - 3x^2 + 1 на множители:

\[ x^4 - 3x^2 + 1 = \left(x^2 - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)\left(x^2 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right) \]

Это разложение на множители для данного многочлена.