Question

Решите систему уравнений для при каждом a:x^2+y^2+2(x-y)+2=0a^2+ax+ay-4=0

Answer 1

Из первого уравнения:
(x+1)^2 + (y-1)^2 = 0
x=-1, y=1
Подставляем во второе, получаем:
а^2=4
а=+-2.
Поэтому ответ такой: при а=+-2 х=-1, у=1, при других а - решений нет.

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте рассмотрим оба варианта.

Метод подстановки:

1. Решим первое уравнение относительно одной из переменных. В данном случае, давайте решим его относительно переменной y.

Из первого уравнения получаем: y = -x^2 + 2x + 2.

2. Подставим это выражение для y во второе уравнение:

a^2 + ax + a(-x^2 + 2x + 2) - 4 = 0.

Упростим это уравнение:

a^2 + ax - ax^2 + 2ax + 2a - 4 = 0.

Комбинируем похожие члены:

-ax^2 + (a + 2a)x + (2a - 4) = 0.

Упростим еще больше:

-ax^2 + 3ax + 2a - 4 = 0.

3. Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной x. Решим его.

Для начала, упорядочим уравнение по степеням x:

-ax^2 + 3ax + (2a - 4) = 0.

Используя квадратное уравнение, мы можем найти значения x:

x = (-3a ± √(9a^2 - 4a(2a - 4))) / (2a).

Для упрощения дальнейших вычислений, давайте разложим подкоренное выражение:

x = (-3a ± √(9a^2 - 8a^2 + 16a)) / (2a).

x = (-3a ± √(a^2 + 16a)) / (2a).

x = (-3a ± √(a(a + 16))) / (2a).

x = (-3a ± √(a(a + 16))) / (2a).

x = (-3 ± √(a + 16)) / 2.

4. Теперь, когда у нас есть значения x, мы можем найти соответствующие значения y, используя первое уравнение.

Для каждого значения x, подставим его в первое уравнение и найдем соответствующее значение y:

-x^2 + 2x + 2 = y.

Например, если x = (-3 + √(a + 16)) / 2, то

y = -((-3 + √(a + 16)) / 2)^2 + 2((-3 + √(a + 16)) / 2) + 2.

Повторим этот шаг для значения x = (-3 - √(a + 16)) / 2, чтобы найти второе значение y.

Таким образом, мы получим две пары значений (x, y), которые удовлетворяют данной системе уравнений.

Метод исключения:

1. Умножим первое уравнение на a:

a(x^2 + y^2 + 2(x - y) + 2) = 0.

Получаем: ax^2 + ay^2 + 2ax - 2ay + 2a = 0.

2. Распишем второе уравнение:

a^2 + ax + ay - 4 = 0.

3. Избавимся от a^2 во втором уравнении, выразив a^2 через остальные переменные:

a^2 = 4 - ax - ay.

4. Подставим это значение a^2 в первое уравнение:

ax^2 + ay^2 + 2ax - 2ay + 2a = 4 - ax - ay.

Упростим:

ax^2 + ay^2 + 2ax - 2ay + 2a + ax + ay = 4.

ax^2 + ay^2 + 3ax - ay + 2a = 4.

Распишем каждый член:

ax^2 + ay^2 + 3ax - ay + 2a - 4 = 0.

Это уравнение эквивалентно исходной системе уравнений.

5. Теперь у нас есть одно уравнение с двумя переменными. Мы можем решить его с помощью методов факторизации, квадратного трехчлена или других методов решения квадратных уравнений.

Решение этого уравнения даст нам значения x и y, которые удовлетворяют исходной системе уравнений.

Оба метода, подстановка и исключение, позволяют найти значения переменных x и y, которые удовлетворяют данной системе уравнений. Выбор метода зависит от вашего предпочтения и удобства при работе с уравнениями.