Question

100баллов!!! Доказать, что (аб+3)(12/а + 1/б) больше или = 24 при а, б больше 0

Answer 1

Для x,y ≥0 очевидно верно x+y≥2√(xy). Применим его к каждой скобке: (ab+3)(12/a+1/b)≥2√(3ab)·2√(12/ab)=24.

Answer 2

Для доказательства, что выражение (аб+3)(12/а+1/б) больше или равно 24 при а и б больше 0, мы можем применить алгебраические преобразования и математические неравенства.

Давайте разложим выражение (аб+3)(12/а+1/б):

(аб+3)(12/а+1/б) = 12б + 3/а + 12/б + 3/аб

Теперь мы можем применить неравенство Коши-Буняковского для доказательства:

(12б + 3/а + 12/б + 3/аб)^2 ≥ (24)^2

Раскроем скобки:

144б^2 + 36/а^2 + 144/б^2 + 36/аб^2 + 72б/а + 72б/б + 36/аб + 36/аб^2 + 6/а^2б + 6/аб^3 ≥ 576

Упростим:

144б^2 + 36/а^2 + 144/б^2 + 36/аб^2 + 72б/а + 72 + 36/аб + 36/аб^2 + 6/а^2б + 6/аб^3 ≥ 576

Теперь мы можем сгруппировать и упростить выражения:

144б^2 + 144/б^2 + 36/а^2 + 36/аб^2 + 72б/а + 36/аб + 6/а^2б + 6/аб^3 + 72 ≥ 576

Сократим некоторые выражения:

144б^2 + 144/б^2 + 36/а^2 + 36/аб^2 + 72б/а + 36/аб + 6/а^2б + 6/аб^3 + 72 ≥ 576

Теперь мы можем сгруппировать подобные слагаемые:

144б^2 + 144/б^2 + 36/а^2 + 36/аб^2 + 72б/а + 36/аб + 6/а^2б + 6/аб^3 + 72 - 576 ≥ 0

Упростим:

144б^2 + 144/б^2 + 36/а^2 + 36/аб^2 + 72б/а + 36/аб + 6/а^2б + 6/аб^3 - 504 ≥ 0

Теперь мы видим, что нам нужно доказать, что это неравенство выполняется при а и б больше 0. Однако, это может быть довольно сложной задачей, требующей применения различных методов и алгоритмов для доказательства неравенства. Для таких сложных математических задач рекомендуется использовать программное обеспечение для символьных вычислений, такое как Wolfram Mathematica или SageMath.

Важно отметить, что явное доказательство данного неравенства здесь не представлено. Если вы хотите получить более точное и формальное доказательство, рекомендуется обратиться к специалисту в области математики или использовать специализированное программное обеспечение для символьных вычислений.