Question

Седьмой член арифметической прогрессии равен 21, а сумма первых семи членов равна 105. Найти первый член и разность прогрессии.

Answer 1

А7=21
s7=105
an=a1+d(n-1)
sn=(a1+an)×n/2. или
sn=(2a1+d(n-1))×n/2
a7=a1+6d=21
s7=2a1+6d×7/2=7a1+21d=105. a1+3d=15
a1+6d=21. a1=21-6d
a1+3d=15.
21-6d+3d=15
-3d=15-21
-3d=-6
d=2. a1=21-6d=21-6×2=21-12=9
ответ: а1=9, d=2

Answer 2

Дано, что седьмой член арифметической прогрессии равен 21, а сумма первых семи членов равна 105. Мы должны найти первый член и разность прогрессии.

Давайте воспользуемся формулами для нахождения членов арифметической прогрессии.

Формула для n-го члена прогрессии:

А_n = A_1 + (n - 1)d

Формула для суммы первых n членов прогрессии:

S_n = (n/2)(A_1 + A_n)

где: А_n - n-й член прогрессии А_1 - первый член прогрессии d - разность прогрессии S_n - сумма первых n членов прогрессии

Мы знаем, что А_7 = 21 и S_7 = 105. Подставим эти значения в формулы и решим систему уравнений.

Решение:

1. Найдем разность прогрессии (d).

Используем формулу для n-го члена прогрессии: А_7 = А_1 + (7 - 1)d 21 = А_1 + 6d

2. Найдем первый член прогрессии (А_1).

Теперь воспользуемся формулой для суммы первых семи членов прогрессии: S_7 = (7/2)(А_1 + А_7) 105 = (7/2)(А_1 + 21)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (А_1 и d). Решим эту систему:

21 = А_1 + 6d ---(1) 105 = (7/2)(А_1 + 21) ---(2)

Распишем уравнение (2) и избавимся от дроби:

105 = (7/2)А_1 + (7/2)21 105 = (7/2)А_1 + 7*21/2 105 = (7/2)А_1 + 147/2

Теперь перепишем уравнение (1), изолируя А_1:

А_1 = 21 - 6d

Подставим это значение в уравнение (2):

105 = (7/2)(21 - 6d) + 147/2 105 = (147/2) - (21/2)*6d + 147/2 105 = 147/2 - 63d + 147/2

Упростим уравнение:

105 = 294/2 - 63d 105 = 147 - 63d 63d = 42 d = 42/63 d = 2/3

Теперь найдем А_1, подставив значение d в уравнение (1):

А_1 = 21 - 6*(2/3) А_1 = 21 - 12/3 А_1 = 21 - 4 А_1 = 17

Итак, первый член прогрессии равен 17, а разность прогрессии равна 2/3.