Question

Найдите значение производной функции f(x)=1+4х:1+2х. в точках а) х=0 б) х=1

Answer 1

Производная равна(4(1+2х)-(2(1+4х))/(1+2х)^2=(4+8x-2-8x)/(1+2x)^2=2/(1+2x)^2
в точке х=0 будет 2
в точке х=1  будет 2/9

Answer 2

Для того чтобы найти значение производной функции \( f(x) = \frac{1+4x}{1+2x} \) в заданных точках \( x = 0 \) и \( x = 1 \), мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции или правило дифференцирования частного. Давайте начнем с вычисления производной функции \( f(x) \).

Нахождение производной функции \( f(x) \)

Для нахождения производной функции \( f(x) \) мы можем использовать правило дифференцирования частного и правило дифференцирования сложной функции. Первым шагом мы выразим функцию \( f(x) \) в виде \( f(x) = (1+4x)(1+2x)^{-1} \). Затем мы продифференцируем это выражение.

Применение правила дифференцирования частного

Правило дифференцирования частного гласит, что производная частного функций равна \( \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \), где \( f(x) \) и \( g(x) \) - функции, а \( f'(x) \) и \( g'(x) \) - их производные.

Применяя это правило, мы получаем:

\[ f'(x) = \frac{(1+2x)(4) - (1+4x)(2)}{(1+2x)^2} \]

Используя эту формулу, мы можем найти значение производной в точках \( x = 0 \) и \( x = 1 \).

Нахождение значения производной в точке \( x = 0 \)

Подставляя \( x = 0 \) в формулу \( f'(x) \), мы получаем:

\[ f'(0) = \frac{(1+2*0)(4) - (1+4*0)(2)}{(1+2*0)^2} = \frac{4 - 2}{1} = 2 \]

Нахождение значения производной в точке \( x = 1 \)

Подставляя \( x = 1 \) в формулу \( f'(x) \), мы получаем:

\[ f'(1) = \frac{(1+2*1)(4) - (1+4*1)(2)}{(1+2*1)^2} = \frac{6*4 - 5*2}{3^2} = \frac{24 - 10}{9} = \frac{14}{9} \]

Таким образом, значение производной функции \( f(x) = \frac{1+4x}{1+2x} \) в точке \( x = 0 \) равно 2, а в точке \( x = 1 \) равно \( \frac{14}{9} \).