Question

8 класс. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотинузе. Доказать, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника

Answer 1

Прямоугольник вырезает из данного прямоугольного треугольника еще два прямоугольных треугольника и они тоже будут равнобедренными, т.к. острые углы во всех треугольниках по 45°
Если обозначить одну из сторон прямоугольника (х), то вторая сторона прямоугольника будет равна (а-х), где (а) --- катет исходного прямоугольного треугольника.
Периметр прямоугольника = 2х + 2(а-х) = 2х+2а-2х = 2а ---то есть равен сумме катетов данного прямоугольного треугольника, а у данного треугольника стороны не изменны, т.е. длины сторон постоянны, значит и периметр – величина постоянная.

Answer 2

Вписанный прямоугольник в прямоугольный равнобедренный треугольник

Для начала, давайте определимся с терминологией. Прямоугольный равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам, а два других угла равны между собой. Гипотенуза - это сторона треугольника, противолежащая прямому углу.

Теперь, чтобы вписать прямоугольник в такой треугольник, мы должны разместить его таким образом, чтобы один из его углов совпадал с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежала на гипотенузе.

Доказательство постоянства периметра прямоугольника

Для доказательства, что периметр прямоугольника является постоянной величиной для данного треугольника, мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Пусть сторона прямоугольника, совпадающая с гипотенузой треугольника, будет равна c. Тогда сторона прямоугольника, совпадающая с одной из катетов треугольника, будет равна a, а другая сторона прямоугольника будет равна b.

Используя свойства подобных треугольников, мы можем установить следующие соотношения:

a/c = c/b (соотношение сторон подобных треугольников)

Теперь, чтобы доказать, что периметр прямоугольника является постоянной величиной, мы можем выразить периметр прямоугольника через стороны a, b и c:

Периметр прямоугольника = 2a + 2b

Теперь, используя соотношение сторон подобных треугольников, мы можем выразить b через a и c:

b = (a * c) / c

Подставляя это значение в формулу для периметра прямоугольника, получаем:

Периметр прямоугольника = 2a + 2((a * c) / c)

Упрощая выражение, получаем:

Периметр прямоугольника = 2a + 2a = 4a

Таким образом, мы видим, что периметр прямоугольника равен 4a, где a - это длина одной из сторон прямоугольника. Это означает, что периметр прямоугольника является постоянной величиной для данного треугольника.

Пример

Давайте рассмотрим пример для наглядности. Пусть сторона прямоугольника, совпадающая с гипотенузой треугольника, равна 6 единицам длины. Тогда сторона прямоугольника, совпадающая с одним из катетов треугольника, будет равна 4 единицам длины, а другая сторона прямоугольника будет также равна 4 единицам длины.

Теперь мы можем вычислить периметр прямоугольника:

Периметр прямоугольника = 2 * 4 + 2 * 4 = 8 + 8 = 16

Таким образом, для данного треугольника периметр прямоугольника будет равен 16 единицам длины.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что периметр прямоугольника является постоянной величиной для данного прямоугольного равнобедренного треугольника. Это свойство следует из подобия треугольников и соотношения сторон.