Question

Найдите интервал возрастания функции f(x)=2x/1+x^2. В ответ запишите длину этого интервала.

Answer 1

План действий такой:
1) ищем производную
2) приравниваем её к нулю и решаем уравнение
3) ставим корни на числовой прямой и смотрим тот участок,
где производная >0 
Начали:
1) производная =
=(2(1 + х²) - 2х·2х)/(1 + х²)² = (2 + 2х²- 4х²)/(1 + х²)²= (2 -2х²)/(1 + х²)²
2) (2 -2х²)/(1 + х²)²= 0 
2 - 2х² = 0
2х² = 2
х² = 1
х = +-1
3)  -∞  -     -1       +     1      -       +∞
                  IIIIIIIIIIIIIIIII
Длина этого интервала = 2

Answer 2

Для того чтобы найти интервал возрастания функции f(x) = 2x / (1 + x^2), нужно найти производную функции и найти ее нули.

Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = (2 * (1 + x^2) - 2x * 2x) / (1 + x^2)^2 f'(x) = (2 + 2x^2 - 4x^2) / (1 + x^2)^2 f'(x) = (2 - 2x^2) / (1 + x^2)^2

Чтобы найти нули производной, приравняем ее к нулю: (2 - 2x^2) / (1 + x^2)^2 = 0

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю: 2 - 2x^2 = 0 2x^2 = 2 x^2 = 1 x = ±1

Теперь построим таблицу знаков для производной в интервалах (-∞, -1), (-1, 1) и (1, +∞):

x | (-∞, -1) | (-1, 1) | (1, +∞) ---|------------|-----------|--------- f' | + | - | +

Из таблицы знаков видно, что производная функции f(x) положительна на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), а отрицательна на интервале (-1, 1).

Таким образом, интервал возрастания функции f(x) = 2x / (1 + x^2) - это (-∞, -1) объединение (1, +∞). Длина этого интервала равна бесконечности.