Question

Известно, что sin x = 3/2sin y - 2/3cos y, cos x = 3/2cos y - 2/3sin y. Найдите sin2y

Answer 1

Sin 2*y=2*siny*cosy
Из первого уравнения выразим sin y
siny=2*sinx/3+4*cosy/9
Из второго уравнения выразим cosy
cosy=3*cosx/2+4*siny/9
В первое уравнение подставим cosy, а во второе siny получим
siny=2*sinx/3+4*(3*cosx/2+4*siny/9)/9=2*sinx/3+2*cosx/3+16*siny/81
siny-16*siny/81=2*(sinx+cosx)/3
65*siny/81=2*(sinx+cosx)/3
siny=54*(sinx+cosx)/65
cosy=3*cosx/2+4*(2*sinx/3+4*cosy/9)/9=3*cosx/2+8*sinx/27+16*cosy/81
cosy-16*cosy/81=3*cosx/2+8*sinx/27
65*cosy/81=3*cosx/2+8*sinx/27
cosy=81*(3*cosx/2+8*sinx/27)/65
Подставляем
sin2*y=2*54*(sinx+cosx)*81*(3*cosx/2+8*sinx/27)/65*65=
=8748*(sinx+cosx)*(3*cosx/2+8*sinx/27)4225

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться формулами приведения для синуса и косинуса двойного угла. Давайте посмотрим, как это сделать.

Предоставлено уравнение: sin(x) = (3/2)sin(y) - (2/3)cos(y) cos(x) = (3/2)cos(y) - (2/3)sin(y)

Мы хотим найти значение sin(2y).

Использование формул приведения

Для нахождения sin(2y), мы можем воспользоваться формулой приведения для синуса двойного угла: sin(2y) = 2sin(y)cos(y)

Используем данные из уравнения

Давайте заменим sin(x) и cos(x) в уравнении с помощью данных, предоставленных в задаче.

sin(x) = (3/2)sin(y) - (2/3)cos(y) cos(x) = (3/2)cos(y) - (2/3)sin(y)

Подстановка в формулу

Теперь, когда у нас есть значения sin(x) и cos(x), мы можем подставить их в формулу для sin(2y).

sin(2y) = 2sin(y)cos(y) sin(2y) = 2[(3/2)sin(y) - (2/3)cos(y)][(3/2)cos(y) - (2/3)sin(y)]

Упрощение выражения

Далее, мы можем упростить это выражение, раскрыв скобки и сократив подобные слагаемые.

sin(2y) = 2[(3/2)(3/2)sin(y)cos(y) - (3/2)(2/3)sin(y)sin(y) - (2/3)(3/2)cos(y)cos(y) + (2/3)(2/3)sin(y)sin(y)] sin(2y) = 2[(9/4)sin(y)cos(y) - sin^2(y) - (4/9)cos^2(y) + (4/9)sin^2(y)] sin(2y) = 2[(9/4)sin(y)cos(y) - (5/9)cos^2(y) + (4/9)sin^2(y)]

Упрощение дальше

Мы можем продолжить упрощение, используя тригонометрическое тождество sin^2(y) + cos^2(y) = 1.

sin(2y) = 2[(9/4)sin(y)cos(y) - (5/9)(1 - sin^2(y)) + (4/9)sin^2(y)] sin(2y) = 2[(9/4)sin(y)cos(y) - (5/9) + (5/9)sin^2(y) + (4/9)sin^2(y)] sin(2y) = 2[(9/4)sin(y)cos(y) + (9/9)sin^2(y)] sin(2y) = 2[(9/4)sin(y)cos(y) + sin^2(y)] sin(2y) = 2sin(y)(cos(y) + (1/2)sin(y))

Ответ

Итак, мы получили ответ: sin(2y) = 2sin(y)(cos(y) + (1/2)sin(y))

Это исчерпывающий ответ на задачу. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!