Question

разложите на множители многочленx³+x²+x+1y∧5-y³-y²+1a∧4+2a³-a-2b∧6-3b∧4-2b²+6a²-ab-8a+8bab-3b+b²-3a11x-xy+11y-x²kn-mn-n²+mk2)разложите на множители многочленab-8a-bx+8xax-b+bx-aax-y+x-ayax-2bx+ay-2by3)разложите на множители многочленmx+my+6x+6y9x+ay+9y+ax7a-7b+an-bnax+ay-x-y1-bx-x+bxy+2y-2x-4

Answer 1

Задание № 1

$x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{3}+x^{2})+(x+1)=x^{2}(x+1)+(x+1)=x^{2}(x+1)+1(x+1)=(x+1)(x^{2}+1)$

======================================================================

$y^{5}-y^{3}-y^{2}+1=(y^{5}-y^{3})+(-y^{2}+1)=(y^{5}-y^{3})-(y^{2}-1)=y^{3}(y^{2}-1)-(y^{2}-1)=y^{3}(y^{2}-1)-1(y^{2}-1)=(y^{2}-1)(y^{3}-1)$

======================================================================

$a^{4}+2a^{3}-a-2=(a^{4}-a)+(2a^{3}-2)=a(a^{3}-1)+2(a^{3}-1)=(a^{3}-1)(a+2)$

======================================================================

$b^{6}-3b^{4}-2b^{2}+6=(b^{6}-2b^{2})+(-3b^{4}+6)=(b^{6}-2b^{2})-(3b^{4}-6)=b^{2}(b^{4}-2)-3(b^{4}-2)=(b^{4}-2)(b^{2}-3)$

======================================================================

$a^{2}-ab-8a+8b=(a^{2}-ab)+(-8a+8b)=(a^{2}-ab)-(8a-8b)=a(a-b)-8(a-b)=(a-b)(a-8)$

======================================================================

$ab-3b+b^{2}-3a=(ab+b^{2})+(-3b-3a)=(ab+b^{2})-(3b+3a)=(ab+b^{2})-(3a+3b)= b(a+b)-3(a+b)=(a+b)(b-3)$

======================================================================

$11x-xy+11y-x^{2}=(11x+11y)+(-xy-x^{2})=(11x+11y)-(xy+x^{2})=11(x+y)-x(y+x)=(x+y)(11-x)$

======================================================================

$kn-mn-n^{2}+mk=(kn-n^{2})+(mk-mn)=n(k-n)+m(k-n)=(k-n)(n+m)$

======================================================================

Задание № 2

$ab-8a-bx+8x=(ab-bx)+(-8a+8x)=(ab-bx)-(8a-8x)=b(a-x)-8(a-x)=(a-x)(b-8)$

======================================================================

$ax-b+bx-a=(ax+bx)+(-b-a)=(ax+bx)-(b+a)=(ax+bx)-(a+b)=x(a+b)-(a+b)=x(a+b)-1(a+b)=(a+b)(x-1)$

====================================================================== 

$ax-y+x-ay=(ax-ay)+(-y+x)=(ax-ay)+(x-y)=a(x-y)+(x-y)=a(x-y)+1(x-y)=(x-y)(a+1)$

======================================================================

$ax-2bx+ay-2by=(ax+ay)+(-2bx-2by)=(ax+ay)-(2bx+2by)=a(x+y)-2b(x+y)=(x+y)(a-2b)$

======================================================================

Задание № 3

$mx+my+6x+6y=(mx+my)+(6x+6y)=m(x+y)+6(x+y)=(x+y)(m+6)$

======================================================================

$9x+ay+9y+ax=(9x+9y)+(ay+ax)=(9x+9y)+(ax+ay)=9(x+y)+a(x+y)=(x+y)(9+a)$

======================================================================

$7a-7b+an-bn=(7a-7b)+(an-bn)=7(a-b)+n(a-b)=(a-b)(7+n)$

======================================================================

$ax+ay-x-y=(ax+ay)+(-x-y)=(ax+ay)-(x+y)=a(x+y)-(x+y)=a(x+y)-1(x+y)=(x+y)(a-1)$

======================================================================

$1-bx-x+b=(1+b)+(-bx-x)=(1+b)+(-x-bx)=(1+b)-(x+bx)=(1+b)-x(1+b)=1(1+b)-x(1+b)=(1+b)(1-x)$

======================================================================

$xy+2y-2x-4=(xy+2y)+(-2x-4)=(xy+2y)-(2x+4)=y(x+2)-2(x+2)=(x+2)(y-2)$

Answer 2

1) Разложение на множители многочлена x³ + x² + x + 1: Мы видим, что данный многочлен является суммой куба и единицы, что намекает на его связь с третьим степенем комплексного числа. Заметим, что если мы возведем в куб комплексное число ω, которое является корнем уравнения ω³ = 1, то получим единицу. Таким образом, корни уравнения ω³ = 1 являются корнями многочлена x³ + x² + x + 1. Найдем корни этого уравнения: ω³ = 1 (ω - 1)(ω² + ω + 1) = 0 Отсюда получаем два корня: ω₁ = 1 и ω₂, ω₃ - корни уравнения ω² + ω + 1 = 0. Для нахождения корней уравнения ω² + ω + 1 = 0 воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения: ω₂,₃ = (-1 ± √(1 - 4))/2 = (-1 ± √(-3))/2 = (-1 ± √3i)/2. Таким образом, корни многочлена x³ + x² + x + 1 - ω₁, ω₂, ω₃ = 1, (-1 + √3i)/2, (-1 - √3i)/2.

Теперь разложим многочлен на множители, используя найденные корни: x³ + x² + x + 1 = (x - 1)(x - ω₂)(x - ω₃).

2) Разложение на множители многочлена ab - 8a - bx + 8x: Мы видим, что данный многочлен содержит две переменные a и x. Попробуем разложить его на множители, выделив общие множители для каждой переменной: ab - 8a - bx + 8x = a(b - 8) - x(b - 8) = (a - x)(b - 8).

3) Разложение на множители многочлена mx + my + 6x + 6y: Мы видим, что данный многочлен содержит две переменные x и y. Попробуем разложить его на множители, выделив общие множители для каждой переменной: mx + my + 6x + 6y = m(x + y) + 6(x + y) = (m + 6)(x + y).

4) Разложение на множители многочлена 9x + ay + 9y + ax: Мы видим, что данный многочлен содержит две переменные x и y. Попробуем разложить его на множители, выделив общие множители для каждой переменной: 9x + ay + 9y + ax = 9(x + y) + a(x + y) = (9 + a)(x + y).

5) Разложение на множители многочлена 7a - 7b + an - bn: Мы видим, что данный многочлен содержит две переменные a и b. Попробуем разложить его на множители, выделив общие множители для каждой переменной: 7a - 7b + an - bn = 7(a - b) + n(a - b) = (7 + n)(a - b).

6) Разложение на множители многочлена ax + ay - x - y: Мы видим, что данный многочлен содержит две переменные x и y. Попробуем разложить его на множители, выделив общие множители для каждой переменной: ax + ay - x - y = x(a - 1) + y(a - 1) = (a - 1)(x + y).

7) Разложение на множители многочлена ax - 2bx + ay - 2by: Мы видим, что данный многочлен содержит две переменные x и y, а также общие множители a и b. Попробуем разложить его на множители, выделив общие множители для каждой переменной: ax - 2bx + ay - 2by = x(a - 2b) + y(a - 2b) = (a - 2b)(x + y).

8) Разложение на множители многочлена 3bx - x + bxy + 2y - 2x - 4: Мы видим, что данный многочлен содержит три переменные x, y и b. Попробуем разложить его на множители, выделив общие множители для каждой переменной: 3bx - x + bxy + 2y - 2x - 4 = x(3b - 1 - 2) + y(b - 2) - 4 = (3b - 3 - 2)(x + y) - 4 = (3b - 5)(x + y) - 4.