Question

Log5 (2x-4) ≥ log5 (x+1)

Answer 1

Для решения данного неравенства с логарифмами, мы должны использовать свойства логарифмов и алгебраические методы. Давайте разберемся.

Свойства логарифмов

Для начала, воспользуемся свойством логарифма, которое гласит: log(base a)(b) + log(base a)(c) = log(base a)(b * c)

Упрощение неравенства

1. Перенесем логарифмы на одну сторону и их аргументы на другую сторону: log5(2x - 4) - log5(x + 1) ≥ 0 2. Воспользуемся свойством логарифма, чтобы объединить два логарифма с одним и тем же основанием: log5((2x - 4)/(x + 1)) ≥ 0

Разбиение на случаи

Теперь разберемся с неравенством. Для этого рассмотрим два случая: когда выражение внутри логарифма больше единицы и когда оно меньше единицы.

Случай 1: (2x - 4)/(x + 1) > 1

1. Решим неравенство: (2x - 4)/(x + 1) > 1 2. Умножим обе части неравенства на (x + 1), чтобы избавиться от знаменателя: 2x - 4 > x + 1 3. Вычтем x и добавим 4 к обеим частям неравенства: 2x - x > 1 + 4 x > 5

Случай 2: (2x - 4)/(x + 1) < 1

1. Решим неравенство: (2x - 4)/(x + 1) < 1 2. Умножим обе части неравенства на (x + 1), чтобы избавиться от знаменателя: 2x - 4 < x + 1 3. Вычтем x и добавим 4 к обеим частям неравенства: 2x - x < 1 + 4 x < 5

Итоговый ответ

Итак, мы получили два случая: 1. x > 5 2. x < 5

При объединении этих двух случаев, получаем, что решением исходного неравенства является любое число x, которое меньше 5 или больше 5. В математической записи это можно выразить следующим образом: x ∈ (-∞, 5) ∪ (5, +∞)

Таким образом, решением исходного неравенства log5(2x - 4) ≥ log5(x + 1) является любое число x, которое меньше 5 или больше 5.