Question

Найти точки экстремума функцuu y=x^3-2x^2-7x+4

Answer 1

Y'=3x²-4x-7
y'=0
3x²-4x-7=0
d=16+4*3*7=100
x1=(4+10)/2=7
x2=(4-10)/2=-3
y(7)=7³-2*7²-7*7+4=343-98-49+4=200
y(-3)=-27-18+21+4=-20
точки экстремума
(7,200), (-3,-20)

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Точки экстремума могут быть локальными минимумами или максимумами, а также глобальным минимумом или максимумом, если функция ограничена на заданном интервале.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции y=x^3-2x^2-7x+4. Производная показывает скорость изменения функции в каждой точке и поможет нам найти точки, где эта скорость равна нулю или не существует.

Для функции y=x^3-2x^2-7x+4, возьмем производную по переменной x, используя правила дифференцирования:

y' = 3x^2 - 4x - 7

Решение уравнения производной

Далее, решим уравнение производной y' = 0, чтобы найти точки, в которых скорость изменения функции равна нулю:

3x^2 - 4x - 7 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, квадратного корня или использования формулы корней квадратного уравнения. Однако, в данном случае, уравнение не факторизуемо и не имеет рациональных корней. Поэтому воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 3, b = -4 и c = -7.

Вычисление корней уравнения

Применяя формулу корней, получим:

x = (-(-4) ± sqrt((-4)^2 - 4 * 3 * (-7))) / (2*3)

Упрощая выражение, получаем:

x = (4 ± sqrt(16 + 84)) / 6

x = (4 ± sqrt(100)) / 6

x = (4 ± 10) / 6

Таким образом, получаем два корня:

x1 = (4 + 10) / 6 = 14 / 6 = 7/3

x2 = (4 - 10) / 6 = -6 / 6 = -1

Проверка типов экстремумов

Для определения типа экстремума в найденных точках, необходимо проанализировать вторую производную функции. Если вторая производная больше нуля, то это будет локальный минимум, если меньше нуля - локальный максимум, а если равна нулю - необходимо использовать другие методы для анализа.

Вычислим вторую производную функции:

y'' = 6x - 4

Анализ типа экстремумов

Теперь, подставим найденные значения x во вторую производную, чтобы определить типы экстремумов:

y''(x1) = 6*(7/3) - 4 = 14 - 4 = 10 > 0

y''(x2) = 6*(-1) - 4 = -6 - 4 = -10 < 0

Итак, получаем:

- В точке x1 = 7/3 у функции есть локальный минимум. - В точке x2 = -1 у функции есть локальный максимум.

Графическое представление

Для визуализации найденных точек экстремума, можно построить график функции y=x^3-2x^2-7x+4. На графике будут отмечены точки экстремума, а также будет видно, как функция меняет свою форму вокруг этих точек.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Задаем функцию
def f(x):
    return x3 - 2*x2 - 7*x + 4

# Задаем интервал для построения графика
x = np.linspace(-3, 4, 400)
y = f(x)

# Построение графика
plt.plot(x, y, label='y=x^3-2x^2-7x+4')
plt.scatter([7/3, -1], [f(7/3), f(-1)], color='red', label='Точки экстремума')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.title('График функции y=x^3-2x^2-7x+4')
plt.show()

На графике можно увидеть, что в точке x1 = 7/3 функция имеет локальный минимум, а в точке x2 = -1 функция имеет локальный максимум.

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять, как найти точки экстремума функции y=x^3-2x^2-7x+4. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!