Question

Решить уравнения:1) sinx - cos2x + 1 = 02) sin2x = 4sin(в квадрате)x

Answer 1

1) sinx - cos2x + 1 = 0

sinx - cos²x + sin²x + cos²x + sin²x = 0

2sin²x + sinx = 0

sinx (2sinx + 1) = 0

a) sinx = 0

x₁ = πn

b) 2sinx + 1= 0

2sinx = -1

sinx = -0.5

x₂ = $(-1)^k^+^1 \cdot \frac{\pi}{6} + \pi k$

2) sin2x = 4sin²x

2sin x·cos x - 4sin²x = 0

2sin x · (cos x - 2sin x) = 0

a) sinx = 0
x₁ = πn

b) cos x - 2sin x = 0

делим на cos x

1 - 2tg x = 0

tg x = 0,5

х₂ = $arctg (0.5) + \pi n$

 

 

Answer 2

1) sinx - cos2x + 1 = 0

1) sinx - 1+2sin^2x + 1 = 0

2sin^2x+sinx=0

sinx(2sinx+1)=0

sinx=0  -> x=pi*k

2sinx=1  -> x=(-1)^n  * pi/6 + pi*n

 

2) sin2x = 4sin^2x

2sinx*cosx-4sin^2x=0

2sinx(cosx-2sinx)=0

a)2sinx=0  -> x=pi*k

б)cosx-2sinx=0 делим на кореньиз 5

1/√5cosx - 2/√5 sinx=0

sin(arcsin 1/√5  - x) =0

arcsin 1/√5  - x = pi*n  -> x=arcsin 1/√5 - pi*n 

 

Answer 3

1) Решим уравнение sin(x) - cos(2x) + 1 = 0:

Заметим, что cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) (это следует из формулы двойного угла для cos(2x)). Подставим это в уравнение:

sin(x) - (1 - 2sin^2(x)) + 1 = 0

Упростим:

sin(x) + 2sin^2(x) = 0

Вынесем sin(x) за скобку:

sin(x) * (1 + 2sin(x)) = 0

Теперь решим два уравнения:

1) sin(x) = 0

Так как sin(x) = 0 при x = 0, π, 2π, ... (или в общем виде x = nπ, где n - целое число), эти значения являются решениями.

2) 1 + 2sin(x) = 0

Вычтем 1 с обеих сторон:

2sin(x) = -1

Разделим на 2:

sin(x) = -1/2

Так как sin(x) = -1/2 при x = 7π/6, 11π/6 (или в общем виде x = (6n + 7)π/6, где n - целое число), эти значения являются решениями.

Итак, решениями уравнения sin(x) - cos(2x) + 1 = 0 являются x = nπ, x = (6n + 7)π/6, где n - целое число.

2) Решим уравнение sin(2x) = 4sin^2(x):

Используя формулу двойного угла для sin(2x), получим:

2sin(x)cos(x) = 4sin^2(x)

Поделим обе части на sin(x) (предполагая, что sin(x) ≠ 0):

2cos(x) = 4sin(x)

Делая замену sin(x) = t, получим:

2√(1 - t^2) = 4t

Разделим на 2:

√(1 - t^2) = 2t

Возведем обе части в квадрат:

1 - t^2 = 4t^2

Перенесем все члены в одну сторону:

5t^2 + t - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(5)(-1) = 1 + 20 = 21

t1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± √21) / (10)

Таким образом, sin(x) = t = (-1 ± √21) / 10

Используя обратные функции sin^(-1), получим:

x1 = sin^(-1)((-1 + √21) / 10)

x2 = sin^(-1)((-1 - √21) / 10)

Таким образом, решениями уравнения sin(2x) = 4sin^2(x) являются x = sin^(-1)((-1 + √21) / 10) и x = sin^(-1)((-1 - √21) / 10).