Question

Вычислите пределы пожалуйста limx->o 2sin(π(x+1))/ln(1+2x)

Answer 1

По правилу Лопиталя,
= lim 2*pi*cos(pi(x+1)) * 1/2 * (1+2x)  =  pi * cos(pi(0+1) *(1+2*0) = pi * cos(pi) * 1 = -pi

Answer 2

Для вычисления предела lim(x->0) 2sin(π(x+1))/ln(1+2x) мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, если предел принимает форму 0/0 или ∞/∞.

Правило Лопиталя:

Правило Лопиталя гласит, что если lim(x->a) f(x) = 0 и lim(x->a) g(x) = 0, или если оба предела равны ±∞, и lim(x->a) f'(x)/g'(x) существует (где f'(x) и g'(x) - производные функций f(x) и g(x)), то lim(x->a) f(x)/g(x) = lim(x->a) f'(x)/g'(x).

Вычисление:

1. Начнем с вычисления производных функций f(x) и g(x): f(x) = 2sin(π(x+1)), g(x) = ln(1+2x) f'(x) = 2πcos(π(x+1)), g'(x) = 2/(1+2x) 2. Теперь вычислим lim(x->0) f(x) и lim(x->0) g(x): lim(x->0) 2sin(π(0+1)) = 2sin(π) = 0 lim(x->0) ln(1+2*0) = ln(1) = 0

3. Проверим, принимает ли lim(x->0) f'(x)/g'(x) определенное значение: lim(x->0) f'(x)/g'(x) = lim(x->0) (2πcos(π(0+1)))/(2/(1+2*0)) = lim(x->0) (2πcos(π))/(2) = πcos(π)

Таким образом, мы видим, что lim(x->0) f'(x)/g'(x) принимает определенное значение.

Применение правила Лопиталя:

Используя правило Лопиталя, мы можем вычислить lim(x->0) 2sin(π(x+1))/ln(1+2x) следующим образом: lim(x->0) 2sin(π(x+1))/ln(1+2x) = lim(x->0) f(x)/g(x) = lim(x->0) f'(x)/g'(x) = πcos(π)

Таким образом, предел lim(x->0) 2sin(π(x+1))/ln(1+2x) равен πcos(π).