Question

Решить уравнение4sin2x=(1+ctg^2x)cosx

Answer 1

...............................

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы сначала преобразуем его, используя тригонометрические тождества, чтобы получить уравнение только с одной тригонометрической функцией. Затем мы найдем все значения x, которые удовлетворяют уравнению.

Преобразование уравнения

Начнем с уравнения:

4sin^2(x) = (1 + ctg^2(x))cos(x)

Распишем ctg^2(x) как 1/tan^2(x):

4sin^2(x) = (1 + 1/tan^2(x))cos(x)

Теперь заменим sin^2(x) и cos(x) с использованием тригонометрических тождеств:

4(1 - cos^2(x)) = (1 + 1/(sin^2(x)/cos^2(x)))cos(x)

4 - 4cos^2(x) = (1 + cos^2(x)/sin^2(x))cos(x)

4 - 4cos^2(x) = (sin^2(x) + cos^2(x))/sin^2(x) * cos(x)

4 - 4cos^2(x) = (sin^2(x)cos(x) + cos^3(x))/sin^2(x)

4 - 4cos^2(x) = (cos(x)(sin^2(x) + cos^2(x)))/sin^2(x)

4 - 4cos^2(x) = cos(x)

Теперь у нас есть уравнение только с одной тригонометрической функцией.

Решение уравнения

4 - 4cos^2(x) = cos(x)

Перепишем это уравнение в виде:

4cos^2(x) + cos(x) - 4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти значения cos(x), а затем найти соответствующие значения x с помощью обратных тригонометрических функций.

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение:

cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 4, b = 1 и c = -4.

Подставляя значения, получим:

cos(x) = (-1 ± √(1 - 4 * 4 * -4)) / (2 * 4)

cos(x) = (-1 ± √(1 + 64)) / 8

cos(x) = (-1 ± √65) / 8

Теперь найдем значения cos(x) и соответствующие значения x с помощью обратных тригонометрических функций.