Question

4 sin^4 x = 5cos^2 x + 15 cos2x + 9 sinx - 7 = 0

Answer 1

Ответ:1)$\pi*k+\frac{\pi}{3}$

           $\pi*k-\frac{\pi}{3}$

           2) НЕТ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

 

Второе даже решать не буду там и так ясно что нет решений а первое вот:

1)разложи косинус получишь

4 sin^4 x = 5-5*sin^2(x) + 1

2)заменяем sin^2 x=t

                        -1<t<1

4*t^2=5-5*t+1

4*t^2+5t-6=0

 t=-2 t=3/4   (по т.виета)

||

 \/

sin^2 x=-2         sin^2 x = 3/4

нет решений          

                           $\pi*k+\frac{\pi}{3}$

                           $\pi*k-\frac{\pi}{3}$

                               т.к. sinx=корень из 3/ 2

тк -1<sinx<1             x=arcsin( корень из 3/ 2)+pi*k 

                                x=-arcsin( корень из 3/ 2)+pi*k

arcsin( корень из 3/ 2)=pi/3

                   

                                   отсуда

                            $\pi*k+\frac{\pi}{3}$

                           $\pi*k-\frac{\pi}{3}$

                               

 

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем преобразовать его, используя тригонометрические тождества.

Данное уравнение имеет вид: 4sin^4(x) + 5cos^2(x) + 15cos(2x) + 9sin(x) - 7 = 0

Сначала преобразуем косинусы в синусы, используя тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x). Подставим эти значения в уравнение:

4sin^4(x) + 5(1 - sin^2(x)) + 15(cos^2(x) - sin^2(x)) + 9sin(x) - 7 = 0

Упростим это уравнение:

4sin^4(x) + 5 - 5sin^2(x) + 15cos^2(x) - 15sin^2(x) + 9sin(x) - 7 = 0

Теперь объединим подобные слагаемые:

4sin^4(x) - 20sin^2(x) + 15cos^2(x) + 9sin(x) - 2 = 0

Заметим, что 4sin^4(x) - 20sin^2(x) + 15cos^2(x) может быть записано в виде выражения вида (2sin^2(x) - 3cos^2(x))^2. Подставим это значение в уравнение:

(2sin^2(x) - 3cos^2(x))^2 + 9sin(x) - 2 = 0

Теперь заметим, что (2sin^2(x) - 3cos^2(x))^2 + 9sin(x) - 2 может быть записано в виде суммы квадрата и квадратного корня:

[(2sin^2(x) - 3cos^2(x))^2 + 9sin(x) - 2] = 0

[(2sin^2(x) - 3cos^2(x))^2] + √[9sin(x) - 2] = 0

Теперь, чтобы продолжить решение, нам нужно рассмотреть каждое слагаемое по отдельности и найти значения, при которых они обращаются в ноль.

Уравнение (2sin^2(x) - 3cos^2(x))^2 = 0 имеет два решения: sin^2(x) = 3/5 и cos^2(x) = 2/5.

Решим первое уравнение sin^2(x) = 3/5:

sin(x) = ±√(3/5)

Теперь решим второе уравнение cos^2(x) = 2/5:

cos(x) = ±√(2/5)

Таким образом, мы получаем четыре значения для x: sin(x) = ±√(3/5) и cos(x) = ±√(2/5).

Теперь рассмотрим второе слагаемое √[9sin(x) - 2] = 0. Чтобы найти значения x, при которых это уравнение обращается в ноль, нужно решить уравнение 9sin(x) - 2 = 0:

sin(x) = 2/9

Таким образом, мы получаем еще одно значение для x: sin(x) = 2/9.

Итак, все значения x, при которых уравнение 4sin^4(x) + 5cos^2(x) + 15cos(2x) + 9sin(x) - 7 = 0 выполняется, это sin(x) = ±√(3/5), cos(x) = ±√(2/5) и sin(x) = 2/9.